www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - lipschitzstetigkeit
lipschitzstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lipschitzstetigkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Fr 17.04.2020
Autor: djanselo

Hi leuts!:)

Ich soll zwei lemmas beweisen:

Aufgabe
1. Wenn [mm] $\Omega \subseteq \IR^n$ [/mm] offen und konvex ist und [mm] $f:\Omega \to \IR$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\| \nabla f(x)\|_{\IR^n} \le [/mm] M$ für alle $x [mm] \in \Omega$ [/mm]
efüllt, dann gilt
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] M [mm] \|x-y\|_{\IR^n}$, [/mm] für alle $ y,x [mm] \in \Omega.$ [/mm]
2.
Seien $[a,b] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein perfektes Intervall und [mm] $\Omega \subseteq \IR^n$. [/mm] Wenn $f [mm] \in C^{0,1^-}([a,b] \times \Omega,\IR^m)$ [/mm] und  $K [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] ist kompakt, dann existiert eine offen Umgebung $W$ von $K$, so dass ist [mm] $f|_{ [a,b] \times W }$ [/mm] gleichmäßig Lipschitz stetig  bezüglich den Variablen aus $W$ ist.


Zu 1.
Vorab:
Da $ [mm] \Omega$ [/mm]  konvex und offen ist,können wir den mehrdimensionalen Mittelwertsatz benutzen
Beweis:
Seien $x,y [mm] \in \Omega$ [/mm] beliebig. Dann gibt es  nach dem 1.Mittelsatz ein $ c [mm] \in [/mm] (x,y) [mm] \subset \Omega$ [/mm]  mit $ f(x)-f(y) = [mm] \nabla [/mm] f'(c) (y-x)$ . Für die Norm gilt:
$ | f(x)-f(y)| = [mm] \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|$ [/mm] .

Da alle partiellen ableitungen auf [mm] \IR^n [/mm] beschränkt sind gilt.

$ | f(x)-f(y)| = [mm] \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le [/mm] M [mm] \cdot \| (y-x)\| [/mm] $ .

Damit folgt die Behauptung.

Kann man das so machen?
zu 2. hab ich leider keine Idee,habt ihr da nen Tipp für mich?:)

        
Bezug
lipschitzstetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Fr 17.04.2020
Autor: fred97


> Hi leuts!:)
>  
> Ich soll zwei lemmas beweisen:

Der Plural von Lemma lautet Lemmata ....

>  
> 1. Wenn [mm]\Omega \subseteq \IR^n[/mm] offen und konvex ist und
> [mm]f:\Omega \to \IR[/mm] die Ungleichung [mm]\| \nabla f(x)\|_{\IR^n} \le M[/mm]
> für alle [mm]x \in \Omega[/mm]
>  efüllt, dann gilt
>  [mm]|f(x)-f(y)|\le M \|x-y\|_{\IR^n}[/mm], für alle [mm]y,x \in \Omega.[/mm]
>  
> 2.
>  Seien [mm][a,b] \subseteq \IR[/mm] ein perfektes Intervall und
> [mm]\Omega \subseteq \IR^n[/mm]. Wenn [mm]f \in C^{0,1^-}([a,b] \times \Omega,\IR^m)[/mm]

Was bedeutet  $ [mm] C^{0,1^-}$ [/mm]  ?

> und  [mm]K \subseteq \Omega[/mm] ist kompakt, dann existiert eine
> offen Umgebung [mm]W[/mm] von [mm]K[/mm], so dass ist [mm]f|_{ [a,b] \times W }[/mm]
> gleichmäßig Lipschitz stetig  bezüglich den Variablen
> aus [mm]W[/mm] ist.

Da ich im Moment sehr wenig Zeit habe, gebe ich Dir nur zu 1. eine Antwort

>  Zu 1.
>  Vorab:
>  Da [mm]\Omega[/mm]  konvex und offen ist,können wir den
> mehrdimensionalen Mittelwertsatz benutzen
>  Beweis:
>   Seien [mm]x,y \in \Omega[/mm] beliebig. Dann gibt es  nach dem
> 1.Mittelsatz ein [mm]c \in (x,y) \subset \Omega[/mm]  mit [mm]f(x)-f(y) = \nabla f'(c) (y-x)[/mm]


Richtig.

> . Für die Norm gilt:
>  [mm]| f(x)-f(y)| = \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|[/mm] .

"=" wird im Allgemeinen falsch sein.

Richtig ist

[mm]| f(x)-f(y)| \le \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|[/mm] .

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung !


>  
> Da alle partiellen ableitungen auf [mm]\IR^n[/mm] beschränkt sind
> gilt.
>  
> [mm]| f(x)-f(y)| = \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le M \cdot \| (y-x)\|[/mm]
> .
>  

Wie oben

[mm]| f(x)-f(y)| \le \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le M \cdot \| (y-x)\|[/mm]



> Damit folgt die Behauptung.
>  
> Kann man das so machen?
>  zu 2. hab ich leider keine Idee,habt ihr da nen Tipp für
> mich?:)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]