lineare (un)abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:37 So 18.04.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Lineare abhängigkeit prüfen, 4 punkte sind gegeben...
A(1/0/2) , B(0/2/1), C(1/3/0), x(4/4/4)
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Hallo, wiederhole vektorrechnung, da ich montag ne mündliche prüfung habe.
Mein Problem, um hier die lineare abh. zu prüfen, würde ich eine determinatengleichung benutzen, leider kann ich nciht erklären, warum dies zweckmäßig ist...
ebendso lässt es sich mit dem spatprodukt lösen, allerdings weiß ich hier ebend so wenig über die begründung...
welche methoden gibt es noch und wie könnte ich erläutern, was ich bei der determinante überhaupt mache??
mfG
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> Lineare abhängigkeit prüfen, 4 punkte sind gegeben...
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> A(1/0/2) , B(0/2/1), C(1/3/0), x(4/4/4)
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> Hallo, wiederhole vektorrechnung, da ich montag ne
> mündliche prüfung habe.
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> Mein Problem, um hier die lineare abh. zu prüfen, würde
> ich eine determinatengleichung benutzen, leider kann ich
> nciht erklären, warum dies zweckmäßig ist...
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> ebendso lässt es sich mit dem spatprodukt lösen,
> allerdings weiß ich hier ebend so wenig über die
> begründung...
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> welche methoden gibt es noch und wie könnte ich
> erläutern, was ich bei der determinante überhaupt
> mache??
>
>
> mfG
Guten Tag m4rio,
zuerst solltest du dir klar machen, was genau gefragt ist.
Du hast nämlich nicht gesagt, welche Vektoren auf
lineare Abhängigkeit geprüft werden sollen !
Falls gefragt sein sollte, ob die 4 Ortsvektoren der Punkte
A,B,C,X linear abhängig seien, so ist die Antwort ohne
Rechnung anzugeben, da eine Menge von 4 Vektoren im
3D-Raum stets linear abhängig ist.
Vermutlich ist aber gemeint, ob die drei Vektoren [mm] \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{BX}, \overrightarrow{CX}
[/mm]
linear abhängig sind (oder mit anderen Worten, ob die 4
Punkte A,B,C,X in einer gemeinsamen Ebene liegen. (***)
Gehen wir mal von dieser (zweiten) Fragestellung aus.
Das Spatprodukt von 3 Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] (genau genommen
dessen Betrag) liefert das Volumen des Spates, welchen
die drei Vektoren, als Kantenvektoren genommen, auf-
spannen. Ich nehme einmal an, dass dir der geometrische
Begriff "Spat" bekannt ist.
Dieses Volumen wird genau dann gleich null, wenn der
Spat "platt" ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
die drei beteiligten Vektoren linear abhängig sind. Dies
ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Spat-
produktes und den Eigenschaften von Skalar- und
Vektorprodukt. Diese sollten dir jedenfalls geläufig
sein.
Die Berechnung mittels Determinante ist eigentlich
gar nichts anderes, denn man kann nachrechnen, dass
die Berechnung der Determinante einer [mm] 3\times{3} [/mm] - Matrix
ganz genau den Wert des Spatproduktes ihrer drei
Spaltenvektoren (oder auch Zeilenvektoren) liefert.
Diese Überprüfung wäre, falls ihr sie nicht ohnehin
schon durchgeführt habt (?) , jedenfalls eine sehr gute
Übung als Vorbereitung auf die Prüfung !
Schönen Sonntag !
Al-Chw.
(***) Möglicherweise ist auch folgende zweiteilige
Aufgabe gemeint:
1.) Weise nach, dass die drei Punkte A,B,C ein echtes
(nicht ausgeartetes) Dreieck bilden.
2.) Prüfe, ob der Punkt X in der von A,B und C aufge-
spannten Ebene liegt oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 18.04.2010 | | Autor: | m4rio |
zunächst, danke für die ausführliche antwort!
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Falls gefragt sein sollte, ob die 4 Ortsvektoren der Punkte
A,B,C,X linear abhängig seien, so ist die Antwort ohne
Rechnung anzugeben, da eine Menge von 4 Vektoren im
3D-Raum stets linear abhängig ist.
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hab mich da falsch ausgedrückt. natüelich meinte ich die verbindungsvektoren dieser punkte.
aber wieso sind vier vektoren in einer ebene immer linear abh.?
Spatprodukt & determinante haben wir leider nicht durchgenommen... wurde immer mit dem gaußschen verfahren gelöst, wenn ich mich nciht irre... was allerdings nicht so mein ding ist.
gibts es nicht noch einen weg, sie als linearkombination darzustellen...
ist das hier ein spat?
http://www.rasanthaus.de/lehrer/sites/mathematik/pics/spat.PNG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ja, da ist ein spat.
2. Wenn ihr das immer mit Gauss gemacht habt, solltest du das für deine Prüfung können, denn alle anderen Verfahren benutzen Theorie, die du dann noch lernen musst, wenn nachgefragt wird. und 3 Gleichungen, die so einfach sind zu lösen, und feszustellen ob es eine Lösung ausser alle Koeffizienten = 0 gibt, ist wirklich schnell und wirksam. Wenn es eine lösung gibt, bistdu dann schon auf anschlussfragen vorbereitet. Wenn du nur weisst, dass sie lin. abhängig sind kannst du z. bsp die Frage, wie du einen der 3 durch die anderen darstellen kannst nicht direkt beantworten.
Kurz: benutze Gaus und üb das für die Prüfung.
für ne mündliche Pr. solltest du auchbegründen können warum du das tust!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 18.04.2010 | | Autor: | m4rio |
ok, dann werde ich das weglassen...
den gauß stelle ich auch aus den verbindungsvektoren auf, korrekt?
und wenn hier 0=0 rauskommt, gibt es nur eine treviale lösund, was auf lineare unabhängigkeit deutet, korrekt so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sprich in ner Prüfung exakter:
wenn es nur die triviale Lösung des systems gibt, dann sind die vektoren lin. unabh. (nicht es deutet hin!)
und 0=0 ist immer richtig, also solltest du das genauer sagen, was du meinst.
Gruss leduart
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