lineare inh. Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum!
Ich bin aus dem Winterschlaf erwacht und leider überhaupt keinen Plan mehr was ich mit diese Aufgabe anfangen soll:
Lösen Sie die linear inhomogene Differentialgleichung:
[mm] y'(t) = y(t) + e^t cos(t)[/mm], [mm]y(0) = 0[/mm]
1. Ich erkenne, das y selbst und die erste Ableitung von y vorkommt. Ich habe dann wohl eine DGL erster Ordnung. Dass y selbst hier vorkommt ist deshalb wichtig, da ich sonst "einfach" nach y' auflösen und sofort integrieren könnte?
2. y und y' kommen nur in erster Potenz vor, also --> linear.
3. Der letzte Term enthält kein y oder y' , dass heißt dann insgesamt, dass wir eine lineare, inhomogene DGL erster Ordnung vor uns haben? (Sagt ja die Aufgabe schon)
Ich stelle um:
[mm] y'(t) - y(t)= e^t cos(t)[/mm], geht das überhaupt? :)
Soo.. und wie mache ich jetzt am besten weiter? Es ist der Tag nach Sylvester, und mein Kopf ist nicht sehr klar. :) Wie muss ich die Integrationskonstante und die Variation der Konstanten verwenden? Wäre dankbar für jede Hilfestellung oder Lösungungsansatz.
Grüsse,
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Sa 01.01.2005 | | Autor: | moudi |
Lieber David
Die "allgemeine Lösung" einer inhomogenen linearen DGL setzt sich zusammen aus der "allgeinen Lösung" der homogenen DGL (hier: y' =y,
Lösung [mm]y(t)=Ce^t[/mm]) und einer "partikulären Lösung" der inhomogenen Gleichung.
Die partikuläre Lösung kann man mit einem geeigneten Ansatz erhalten,
wenn die "Störfunktion" speziell ist,wie hier [mm]f(t)=e^t\cos(t)[/mm].
Hier kommt man mit dem Ansatzt [mm]y_p(t)=e^t(A\cos(t)+B\sin(t))[/mm] für die partikuläre Lösung zum Ziel. Also [mm]y_p(t)[/mm] in die DGL einsetzen, daraus A und B bestimmen und fertig ist die allgemeine Lösung [mm] y(t)=Ce^t+y_p(t)[/mm]. Dann noch die Anfansgsbedingung einsetzen und C bestimmen et voila.
Wie man die Ansätze genau wählt ist nicht so einfach zu beschreiben. Ich empfehle z.B. Harro Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen (ein super Buch).
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 So 02.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallöle,
das ist so zwar richtig, aber bei manchen Dgln kann es reichlich dauern, bis man - falls überhaupt - auf den richtigen Ansatz kommt. Da kann die Variation der Konstanten oft weiterhelfen. In diesem relativ einfachen Beispiel löst man erst die homogene Dgl.
Diese Lösung setzt man in die Dgl ein, aber C ist nicht mehr als Konstante zu betrachten, sondern als Funktion der unabhängigen Variablen:
$ [mm] f(t)=C(t)e^{t} [/mm] $ ergibt in die Dgl eingesetzt und umgeformt: $ [mm] e^{t}(C'(t)-cos(t))=0 [/mm] $ also muss $C'(t)=cos(t)$ d.h. $C(t)=sin(t)+d$ sein, so dass sich als Gesamtlösung ergibt: [mm] $f(t)=e^{t}(sin(t)+d)$ [/mm] mit (wg. Anfangsbedingung) $d=0$.
Hoffentlich war's verständlich,
Peter
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