lineare abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 12.03.2007 | | Autor: | confused |
| Aufgabe | [mm] \vec{a}=\vektor{2 \\1\\0} [/mm] , [mm] \vec{b}=\vektor{3 \\ 1\\-1}, \vec{c}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
untersuchen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig oder linear abgängig sind. |
[mm] r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{3 \\ 1 \\ -1 } [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = vektor{0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0 }.
so als Ansatz würde ich das in ein LGS schreiben. also
2r+3s+t=0
r+s+t=0
-s+t=0
wie mache ich aber ab hier weiter??? wie kann ich die gleichung auflösen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dein Ansatz war schon völlig richtig.
Wie man das LGS auflöst, dafür gibt es viele verschiedene Wege.
Die eine ist die, indem du das sog. Additionsverfahren anwendest, du kannst aber auch z.B. die letzte Gleichung unten auflösen nach t=s und dann in der zweiten Gleichung s durch t ausdrücken.
Ich versuche mal eine Möglichkeit anzudeuten:
I 2r+3s+t=0
II r+ s+t=0
III - s+t=0
Aus Gleichung III kannst du sehen, dass t=s ist.
Das setzt du dann in Gleichung II ein:
r+t+t=0 (da ja s=t gilt).
nun kannst du r durch t ausdrücken, und das in die erste Gleichung einsetzen.
Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, wie z.B. das LGS in eine Matrix zu "packen" und dann nach dem Gauß-Algorithmus aufzulösen.
Du kannst aber auch wiederum die Gleichung in eine Matrix "packen", und gucken, wie die Determinante ausschaut, denn damit kannst du etwas über die Anzahl der Lösungen einer eines LGS aussagen.
Sláin,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mo 12.03.2007 | | Autor: | confused |
ok wenn ich dann für alle t ersetze erhalte ich -4t + 4 t =0. was mir ja nich sooo viel weiterhilft... ;)
1:) wie komme ich jet z auf genaue zahlen?
2.) was sagt die determinante über die lösung?
3.) was bedeutet slain ? :P
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast die Aussage
4t-4t=0 <=> 0=0 aufgestellt.
Das ist eine allgemeingültige Aussage, die dir sehr wohl weiterhilft.
Was bedeutet das denn, wenn dort steht 0=0?
Für welche s,r,t ist denn diese Aussage gültig?
Die Determinante der Koeffizientenmatrix sagt etwas über die Anzahl der Lösungen aus.
Ist die Determinante 0, so gibt es für das LGS unendlich viele Lösungen.
Ist sie ungleich 0, so gibt es nur eine Lösung für das LGS.
So kannst du auch eine Aussage über die lineare (un-)abhängigkeit treffen.
Sláin heißt so viel wie Alles Gute, Gesundheit etc.
Sláinte...hört sich ähnlich an, ist gälisch und heißt Prost*g*
Sláin,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 12.03.2007 | | Autor: | confused |
ja das bedeutet es gibt unendlich viele lösungen. aber in dem lösungszettel stehen zahlen. r=2 und s =-1 und t=-1.
wie kommen die darauf? irgendwelche und dann nur nach der relation zu einander geguckt?
und wann nicht man den Nullvektor also das man das gleich null setzt und wann zb b plus c mit a gleichsetzen?
Slaín ;)
|
|
|
| |
|
Hallo confused,
ihr habt ja schon geklärt, dass es wg. der Gleichung 0=0 unendlich viele Lösungen für das LGS gibt, außerdem war irgendwo s=t als umgeformte Gleichung aufgetaucht.
Nun hat der "Löser" einfach eine Lösung aus den unendlich vielen konstruiert, indem er einfach willkürlich mal s=-1 genommen hat. Damit ist wegen s=t auch t=-1. Das dann in die zweite ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") (verguckt beim ersten post) Gleichung eingesetzt ergibt r=2. [Edit: in die erste geht auch]
Der "Löser" hat also quasi eine Linearkombination "gebastelt", und damit explizit angegeben, wie er die drei Vektoren zum Nullvektor kombinieren kann mit r,s,t nicht alle gleich Null.
Das hätte er sich im Prinzip ersparen können, denn du weißt, ja, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wenn das LGS NUR die Lösung r=s=t=0 liefert. Da es aber unendlich viele Lösungen geliefert hat, weißt du bereits, dass sie linear abhängig sind.
Hoffe, das war nicht zu sehr klein-klein und erklärt deine Frage 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 13.03.2007 | | Autor: | confused |
ja vielen dank!
habs verstanden.
aber auf die frage wann man den nullvektor nimmt und wann man zwei vektoren durch einen erklärt will irgendwie keiner eingehen... ^^
|
|
|
| |
|
Jo, das liegt daran, dass ich die Frage nicht kapiert habe ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Kannst du das zumindest ein klein wenig präzisieren?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
