lineare abh. bzw. unabh. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 12.12.2010 | | Autor: | Haulchen |
| Aufgabe | Seien [mm] \vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k} [/mm] ∈ [mm] R^3 [/mm] mit r ∈ N. Zeigen Sie:
a) Sind [mm] \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k} [/mm] linear abhängig, dann
auch [mm] \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k},\vec{a}.
[/mm]
b) Sind [mm] \vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}, [/mm]
mit k [mm] \le [/mm] 2,linear unabhänig, dann auch
[mm] \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}. [/mm]
c)Ist [mm] \vec{a} [/mm] Linearkombination der Vektoren
[mm] \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}, [/mm] so sind
[mm] \vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k} [/mm] linear abhängig. |
Hallo liebe Forumsgemeinschaft,
an dieser Aufgabe sitze ich nun schon seit mehreren Tagen. Stundenlange Recherchen und Bücherwälzen haben mich noch nicht einmal zu einem Ansatz geführt. Bitte lacht micht nicht aus, aber ich weis einfach nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen muss, um zu einem Ergebnis zu kommen.
Bitte, bitte helft mir. Sonst werd ich noch verrückt.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Seien [mm]\vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}[/mm] ∈ [mm]R^3[/mm] mit r
> ∈ N. Zeigen Sie:
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> a) Sind [mm]\vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}[/mm] linear abhängig, dann
> auch [mm]\vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k},\vec{a}.[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Du verrückt wirst, können wir natürlich nicht riskieren!
Schauen wir uns zunächst die Voraussetzung an:
was bedeutet es denn, daß die k Vektoren [mm] $\vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}$ [/mm] linear abhängig sind?
Gruß v. Angela
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> b) Sind [mm]\vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k},[/mm]
> mit k [mm]\le[/mm] 2,linear unabhänig, dann auch
> [mm]\vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}.[/mm]
>
> c)Ist [mm]\vec{a}[/mm] Linearkombination der Vektoren
> [mm]\vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k},[/mm] so sind
> [mm]\vec{a}, \vec{a}_{1},...,\vec{a}_{k}[/mm] linear abhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 12.12.2010 | | Autor: | Haulchen |
Hallo, danke für die schnelle Reaktion!
Also, ich denke wenn es irgendwelche Zahlen [mm] c_{1}, c_{n} [/mm] gibt für die gilt, dass [mm] c_{1}*\vec{a}_{1} [/mm] + [mm] c_{n}*\vec{a}_{k} [/mm] = 0 ist oder wenn ein Vektor durch den anderen als Linearkombination dargestellt werdenn könnte, wie z.B. [mm] \vec{a}_{1} [/mm] = [mm] \lambda*\vec{a}_{k} [/mm] ????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 So 12.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke für die schnelle Reaktion!
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> Also, ich denke wenn es irgendwelche Zahlen [mm]c_{1}, c_{n}[/mm]
> gibt
... die nicht alle den Wert 0 haben !!!
Gruß Abakus
> für die gilt, dass [mm]c_{1}*\vec{a}_{1}[/mm] +
> [mm]c_{n}*\vec{a}_{k}[/mm] = 0 ist oder wenn ein Vektor durch den
> anderen als Linearkombination dargestellt werdenn könnte,
> wie z.B. [mm]\vec{a}_{1}[/mm] = [mm]\lambda*\vec{a}_{k}[/mm] ????
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> Hallo, danke für die schnelle Reaktion!
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> Also, ich denke wenn es irgendwelche Zahlen [mm]c_{1}, c_{n}[/mm]
> gibt für die gilt, dass [mm]c_{1}*\vec{a}_{1}[/mm] +
> [mm]c_{n}*\vec{a}_{k}[/mm] = 0 ist oder wenn ein Vektor durch den
> anderen als Linearkombination dargestellt werdenn könnte,
> wie z.B. [mm]\vec{a}_{1}[/mm] = [mm]\lambda*\vec{a}_{k}[/mm] ????
Hallo,
wenn wir nur zwei Vektoren hätten, hättest Du ansatzweise recht, siehe dazu abakus' Hinweis.
Wir haben aber nicht zwei Vektoren, wir haben k Vektoren, und ich bin mir sicher, daß im Schulbuch erklärt ist, wann k Vektoren linear abhängig sind.
Es kommt sehr darauf an, solche Definitionen nicht pi mal Daumen ("ich denke") aus einer vagen Erinnerung wiederzugeben, sondern exakt. Also Buch aufklappen, suchen, aufschreiben, merken.
Du wirst in deinem Buch in etwa sowas lesen:
Die Vektoren [mm] b_1,..., b_n [/mm] heißen linear abhängig, wenn man (mindestens) einen von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben kann,
wenn es also Zahlen [mm] c_1,...,c_n [/mm] gibt, so daß
für eine Zahl [mm] m\in [/mm] {1,2,...,n} gilt:
[mm] b_m= c_1b_1+c_2b_2+....+c_{m-1}b_{m-1}+c_{m+1}b_{m+1}+ [/mm] ... [mm] +c_nb_n.
[/mm]
Etwas griffiger wird es ein bis zwei Seiten weiter so stehen:
Die Vektoren [mm] b_1,...,b_n [/mm] sind linear abhängig,
wenn es Zahlen [mm] c_1,..., c_n [/mm] gibt,
von denen mindestens eine von 0 verschieden ist,
so daß gilt
[mm] 0=c_1b_1+ ...+c_n b_n.
[/mm]
Überlege jetzt neu, was es bedeutet, wenn die Vektoren [mm] a_1,...a_k [/mm] linear abhängig sind.
Wenn Du das gestan hast, dann überlege Dir, was Du untersuchen mußt, um zu erfahren, ob die Vektoren [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_k, [/mm] a linear abhängig sind.
a ist hier beliebiger Vektor, der zu denen, die man zuvor hatte, hinzugenommen wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 12.12.2010 | | Autor: | Haulchen |
Ich habe das jetzt mal an einem Beispiel versucht. Der Vektor [mm] \vec{a}=(16, [/mm] -4, 3) ist eine Linearkombination der Vektoren [mm] \vec{b}=(3, [/mm] -2, 4) und [mm] \vec{c}=(2, [/mm] 0, -1) weil
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] 2*\vec{b} [/mm] + [mm] 5*\vec{c}. [/mm] Wenn man nun einen weiteren Vektor hinzunimmt, dann muss ja die Zahl, mit der dieser neue multipliziert wird so dass [mm] \vec{a} [/mm] immer noch (16, -4, 3) ist, Null sein. Oder? Also trifft Aufgabenteil a) zu, wenn der weitere Vektor mit 0 multipliziert wird.
Das ist jetzt wohl eine Milchmädchenschlussfolgerung, oder?
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> Ich habe das jetzt mal an einem Beispiel versucht. Der
> Vektor [mm]\vec{a}=(16,[/mm] -4, 3) ist eine Linearkombination der
> Vektoren [mm]\vec{b}=(3,[/mm] -2, 4) und [mm]\vec{c}=(2,[/mm] 0, -1) weil
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]2*\vec{b}[/mm] + [mm]5*\vec{c}.[/mm] Wenn man nun einen
> weiteren Vektor hinzunimmt, dann muss ja die Zahl, mit der
> dieser neue multipliziert wird so dass [mm]\vec{a}[/mm] immer noch
> (16, -4, 3) ist, Null sein. Oder?
Hallo,
ob das so sein "muß", können wir getrost dahingestellt lassen.
Entscheidend ist dies: Du konntest a als Linearkombination von b und c schreiben, und wenn Du einen neuen Vektor d dazunimmst, ändert sich daran nichts:
es ist dann halt a=2*b+5*c+0*d.
Ob es auch noch andere Möglichkeiten gibt, ist unerheblich und nicht Gegenstand der Untersuchung.
Dein Gedanke ist also völlig der richtige, Du mußt jetzt noch versuchen, dies unabhängig von Beispielen allgemein für [mm] a_1,...a_k, [/mm] a zu formulieren.
Ein Tip zur Vorgehensweise:
nach Voraussetzung sind [mm] a_1,..., a_k [/mm] linear abhängig.
Du kannst nun schreiben: "Dann läßt sich einer der Vektoren, etwa [mm] a_1 [/mm] als Linearkombination der anderen schreiben. Es gibt also ... mit
[mm] a_1= [/mm] ..."
Gruß v. Angela
P.S.: Stelle Rückfragen als Fragen (roter Kasten), damit sie von allen wahrgenommen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 12.12.2010 | | Autor: | Haulchen |
Ich komme mit der allgemeinen Formulierung nicht klar. Ich kann einen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen. a1 oder a2 oder auch ak. Nur wie kann ich das nun allgemein ausdrücken?
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> Ich komme mit der allgemeinen Formulierung nicht klar. Ich
> kann einen der Vektoren als Linearkombination der anderen
> darstellen. a1 oder a2 oder auch ak. Nur wie kann ich das
> nun allgemein ausdrücken?
Hallo,
ich hatte doch in meiner vorherigen Antwort eine mögliche Formulierung genannt.
Gruß v. Angela
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