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| Aufgabe | Sei [mm]x=(x_0,x_1,x_2,...) \in \IF_2^{\IN_0}[/mm] eine lineare Rekursionsfolge der Ordnung 5 mit Rekursionsgleichung
[mm]x_{i+5}+x_{i+3}+x_i=0, \ i=0,1,2,...[/mm]
und [mm]x_i \not= 0[/mm] für ein [mm]i \in \{ 0,1,2,3,4 \}[/mm]. Bestimme die Periodenlänge der Folge x. |
Ich habe die Rekursionsgleichung nach [mm]x_{i+5}[/mm] aufgelöst und erhalte [mm] x_{i+5}=x_i+x_{i+3}[/mm]. Dann habe ich einfach die jeweiligen Folgeglieder ausgerechnet und eine Periode von 31 erhalten, da das [mm]x_31=x_0[/mm] usw.
Bei meiner Rechnung habe ich jetzt aber gar nicht benutzt, dass eine [mm]x_i \not= 0[/mm] für ein [mm]i \in \{ 0,1,2,3,4 \}[/mm] sein soll. Muss ich deshalb noch etwas beachten und in meiner Rechnung ändern?
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Ich nehme an, dass die Bedingung nur gegeben wurde, um einfach mal zu rechnen und festzustellen, wann fünfmal 1 aufeinander folgt. Wenn man dadurch auf die Periode 31 kommt, hat man einen Ansatz das allgemein zu zeigen, also
[mm] x_{i+31} [/mm] = [mm] x_{i}
[/mm]
[mm] x_{i+32} [/mm] = [mm] x_{i+1}
[/mm]
[mm] x_{i+33} [/mm] = [mm] x_{i+2}
[/mm]
[mm] x_{i+34} [/mm] = [mm] x_{i+3}
[/mm]
[mm] x_{i+35} [/mm] = [mm] x_{i+4}
[/mm]
für alle i.
Wegen der Ordnung 5 ist damit dann alles gezeigt.
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> Ich nehme an, dass die Bedingung nur gegeben wurde, um
> einfach mal zu rechnen und festzustellen, wann fünfmal 1
> aufeinander folgt.
>
Das verstehe ich nicht. In der Aufgabe ist doch gefordert, dass nur einer der Startwerte [mm]x_i \not= 0[/mm], also =1, sein soll.
Aber erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
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Ach ja, stimmt, nur ein i.
Wenn [mm] x_{0} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = [mm] x_{4} [/mm] = 0, dann wären alle [mm] x_{i} [/mm] = 0, somit Periodenlänge = 1. Deshalb hat man das ausgeschlossen.
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Ah ok, verstehe.
Vielen Dank für deine Antworten !
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