lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei (V,+,*) ein Vektorraum und a,b [mm] \in [/mm] V. Zeigen Sie, dass die drei Vektoren a, a + b, a – b linear abhängig sind. |
Hallo,
das bedeutet ja, es ist zu zeigen:
[mm]\lambda_{1}a+\lambda_{2}(a+b)+\lambda_{3}(a-b) = 0[/mm]
somit habe ich eine Gleichung und 3 Unbekannte (ist das lösbar???).
Ich habe herausgefunden (durch Beispielrechnungen), dass gilt:
[mm] a = \bruch{1}{2}(a+b) + \bruch{1}{2}(a-b)[/mm]
[mm]\Rightarrow a - \bruch{1}{2}(a+b) - \bruch{1}{2}(a-b) = 0[/mm]
Somit sind diese Vektoren linear abhängig, und da die Vektoren a und b beliebig gewählt waren gilt es für alle a,b [mm] \in [/mm] V.
Nur wie kommt man rechnerisch auf das Ergebnis?
lg, nitro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was man sofort sieht, wie dein a=.. muss man nicht herleiten. du hast damit explizit gezeigt, dass sie lin- abh. sind.
wenn du wisst kannst du das ja auch als [mm] \lmbda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-0.5
[/mm]
als Lösung ungleich 0 der Gleichung oben hinschreiben.ist aber nicht nötig.
du schreibst allerdings
"das bedeutet ja, es ist zu zeigen:
$ [mm] \lambda_{1}a+\lambda_{2}(a+b)+\lambda_{3}(a-b) [/mm] = 0 $
das ist so falsch, es ist z zeigen, dass es [mm] \lamba_i\ne0 [/mm] gibt ..
Gruss leduart
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