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lineare Abbildungen: Kern und Bild bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Di 15.05.2012
Autor: shaltow

Aufgabe
Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
(c) [mm] L:C^1(\IR) \rightarrow \IR, f\rightarrow [/mm] 3f'(2) - f(5)
Bestimmen Sie für jedes obige L, das linear ist, den Kern und das Bild von L.

Hallo, ich soll hier bestimmen, ob die Abbildung linear ist und wenn ja auch den Kern und das Bild. Allerdings komm ich nicht mit dieser mathematischen Schreibweise zurecht. Was heißt [mm] C^1 [/mm] und kann ich mir für f eine beliebige Funktion suchen, für die ich die Linearität beweise/widerlege? Danke!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Di 15.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
>  (c) [mm]L:C^1(\IR) \rightarrow \IR, f\rightarrow[/mm] 3f'(2) -
> f(5)
>  Bestimmen Sie für jedes obige L, das linear ist, den Kern
> und das Bild von L.
>  Hallo, ich soll hier bestimmen, ob die Abbildung linear
> ist und wenn ja auch den Kern und das Bild. Allerdings komm
> ich nicht mit dieser mathematischen Schreibweise zurecht.
> Was heißt [mm]C^1[/mm] und kann ich mir für f eine beliebige
> Funktion suchen, für die ich die Linearität
> beweise/widerlege?

Hallo,

[willkommenmr].

[mm] C^1(\IR) [/mm] ist die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen mit Definitionsbereich [mm] \IR. [/mm]

Die Abbildung L ordnet jeder dieser Funktionen eine Zahl zu in der beschriebenen Weise.

Ist etwa g definiert durch [mm] g(x):=sin(x)+x^2, [/mm] so ist

L(g)=3g'(2) - [mm] g(5)=3*(cos(2)+2*2)-(sin(5)+5^2). [/mm]

Widerlegen tut man,
indem man einem Beispiel zeigt, daß die Bedingungen für Linearität verletzt sind,
beweisen tut man,
indem man ganz allgemein für [mm] f,g\in C^1(\IR) [/mm] und [mm] r\in \IR [/mm] zeigt, daß die Bedingungen für Linearität gelten, daß also
L(f+g)=L(f)+L(g)
und
L(rf)=rL(f).

LG Angela


Bezug
                
Bezug
lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Di 15.05.2012
Autor: shaltow

Danke für die schnelle Antowort!
Ich kann also z.B. f(x) = [mm] 3x^2 [/mm] wählen. Dann wäre f'(x) = 6x

Wenn ich jetzt f(2*x) und 2*f(x) vergleiche und diese nicht gleich sind, ist die Abbildung auch nicht linear.

Ich würde das dann so machen:

f(2*x) = 3*f'(2*2) - f(2*5) = 3*6*4 - [mm] 3*10^2 [/mm] = -228
2*f(x) = 2*[3*f'(2) - f(5)] = 2*[3*12 - [mm] 3*5^2] [/mm] = -78

somit ist diese Abbildung nicht linear. Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Di 15.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo shaltow,


> Danke für die schnelle Antowort!
>  Ich kann also z.B. f(x) = [mm]3x^2[/mm] wählen. Dann wäre f'(x) =
> 6x
>  
> Wenn ich jetzt f(2*x) und 2*f(x) vergleiche und diese nicht
> gleich sind, ist die Abbildung auch nicht linear.
>  
> Ich würde das dann so machen:
>  
> f(2*x) = 3*f'(2*2) - f(2*5) = 3*6*4 - [mm]3*10^2[/mm] = -228
>  2*f(x) = 2*[3*f'(2) - f(5)] = 2*[3*12 - [mm]3*5^2][/mm] = -78

Was rechnest du denn da?

Du sollst ja nicht schauen, ob [mm]f[/mm] linear ist, sondern [mm]L[/mm] !!

>  
> somit ist diese Abbildung nicht linear. Stimmt das so?

Nein, untersuche mal, ob [mm]\alpha\cdot{}L(f)=L(\alpha\cdot{}f)[/mm] ist und [mm]L(f+g)=L(f)+L(g)[/mm] (für bel. [mm]\alpha\in\IR, f,g\in C^1(\IR)[/mm])


Gruß

schachuzipus


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lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Di 15.05.2012
Autor: shaltow


>
> Nein, untersuche mal, ob
> [mm]\alpha\cdot{}L(f)=L(\alpha\cdot{}f)[/mm] ist und
> [mm]L(f+g)=L(f)+L(g)[/mm] (für bel. [mm]\alpha\in\IR, f,g\in C^1(\IR)[/mm])
>  

Oh stimmt richtig. Aber wie genau sieht denn dann L(f) aus? Kann ich für f(x) und g(x) beliebige Funktionen nehmen und wann muss ich dann für x die angegebenen Werte einsetzen. Ich komm einfach nicht mit dieser mathematischen Schreibweise nicht ganz zurecht.


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lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 15.05.2012
Autor: angela.h.b.


> >
> > Nein, untersuche mal, ob
> > [mm]\alpha\cdot{}L(f)=L(\alpha\cdot{}f)[/mm] ist und
> > [mm]L(f+g)=L(f)+L(g)[/mm] (für bel. [mm]\alpha\in\IR, f,g\in C^1(\IR)[/mm])

Hallo,

für die erste Gleichung mußt Du gucken,
ob a*L(f)=a*(3f'(2) - f(5))

dasselbe ist wie

L(af)=3(af)'(2)-(af)(5).

Wissen mußt Du dazu, was die Ableitung von Vielfachen einer Funktion ist und wie die Funktion af definiert ist.

LG Angela




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lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Di 15.05.2012
Autor: shaltow


> für die erste Gleichung mußt Du gucken,
>  ob a*L(f)=a*(3f'(2) - f(5))
>  
> dasselbe ist wie
>  
> L(af)=3(af)'(2)-(af)(5).
>  
> Wissen mußt Du dazu, was die Ableitung von Vielfachen
> einer Funktion ist und wie die Funktion af definiert ist.

Also wenn ich jetzt [mm] f=3x^2 [/mm] nehme, dann wäre f'=6x, [mm] af=3ax^2 [/mm] und af'=6ax

a*L(f) = [mm] a*(6*2-3*5^2) [/mm] = -63a
L(af) = [mm]6*2*a - 3*5^2a[/mm] = -63a

is das so gemeint?

  


Bezug
                                                        
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lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 15.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> > für die erste Gleichung mußt Du gucken,
>  >  ob a*L(f)=a*(3f'(2) - f(5))
>  >  
> > dasselbe ist wie
>  >  
> > L(af)=3(af)'(2)-(af)(5).
>  >  
> > Wissen mußt Du dazu, was die Ableitung von Vielfachen
> > einer Funktion ist und wie die Funktion af definiert ist.
>
> Also wenn ich jetzt [mm]f=3x^2[/mm] nehme, dann wäre f'=6x,
> [mm]af=3ax^2[/mm] und af'=6ax
>  
> a*L(f) = [mm]a*(6*2-3*5^2)[/mm] = -63a
>  L(af) = [mm]6*2*a - 3*5^2a[/mm] = -63a
>  
> is das so gemeint?

Nein, du musst das mit beliebigen stetig diffbaren Funktionen $f,g$ machen und mit beliebigem [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm]

Es an einem Bsp. durchzurechnen, schadet zwar nix, taugt aber als Beweis goar nix

Also geh's mal allg. an!

Gruß

schachuzipus


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lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Di 15.05.2012
Autor: shaltow

Wäre [mm]f=ax^2+bx+c[/mm] allgemein genug und gehört das dann auch zum [mm] C^1-Raum? [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Di 15.05.2012
Autor: chrisno

Nein, das ist überhaupt nicht allgemein genug. Dann hast Du noch noch nichts für zum Beispiel f(x) = cos(x) gezeigt. Dein Funktion heißt einfach f(x) und Du weißt, dass sie stetig differenzierbar ist. Nun gibt es Sätze, die Aussagen über solche Funktionen machen. Zum Beispiel,
wenn f(x) die Ableitungsfunktion f'(x) hat, dann hat f(ax) die Ableitungsfunktion ....?


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lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Di 15.05.2012
Autor: shaltow


> Nein, das ist überhaupt nicht allgemein genug. Dann hast
> Du noch noch nichts für zum Beispiel f(x) = cos(x)
> gezeigt. Dein Funktion heißt einfach f(x) und Du weißt,
> dass sie stetig differenzierbar ist. Nun gibt es Sätze,
> die Aussagen über solche Funktionen machen. Zum Beispiel,
> wenn f(x) die Ableitungsfunktion f'(x) hat, dann hat f(ax)
> die Ableitungsfunktion ....?
>  

Gilt dann einfach:
[mm]f(x) f'(x) f(ax) f'(ax)[/mm]

und damit

[mm]a*L(f) = a*(3*f'(x)-f(x))[/mm]
[mm]L(af) = 3*f'(ax)-f(ax)[/mm]  ?

wenn ich das überhaupt so allgemein machen muss, wieso steht da dann überhaupt, dass ich in die Funktion 5 und und in ihre Ableitung 2 einsetzen soll?


Bezug
                                                                                        
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lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:22 Mi 16.05.2012
Autor: leduart

Hallo
nein f soll algemein sein !
L(f)=3*f'(2)-f(5)
L(a*f)+3*(af(2))'-af(5)
stell fest ob das a*L9f) ist.
jetzt schreib mal L(f+g) auf! stell fest, ob es L9f)+L(g) ist.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                        
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lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:59 Mi 16.05.2012
Autor: angela.h.b.


> und damit
>  
> [mm]a*L(f) = a*(3*f'(x)-f(x))[/mm]
>  [mm]L(af) = 3*f'(ax)-f(ax)[/mm]  ?

Hallo,

gerade werde ich etwas sauer:
ich hatte Dir doch gestern schon geschrieben, daß

a*L(f)=a*(3f'(2) - f(5))
L(af)=3(af)'(2)-(af)(5).

Du solltest jetzt erstmal in Dich gehen und feststellen, ob Du begreifst, warum das so ist.

Bedenke, daß für eine Funktion g die Abbildung L (aus dem Funktionenraum in die reellen Zahlen) definiert ist durch L(g):=3g'(2)-g(5).

>  
> wenn ich das überhaupt so allgemein machen muss, wieso
> steht da dann überhaupt, dass ich in die Funktion 5 und
> und in ihre Ableitung 2 einsetzen soll?

Die Definition für L ist halt so.
L ordnet jeder stetig diffbaren Funktion in der oben beschriebenen Weise eine reelle Zahl zu.
L ist überhaupt nicht "allgemein", sondern es ist genau gesagt, was L tut.


Kurzer Einschub: nehmen wir mal die Abbildung mit l(x):= 5+sin(x).
Wenn Du jetzt zeigen solllst, daß l(x)>0 für alle x, dann reicht es ja auch nicht, wenn Du zeigst, daß l(20)>0 ist, sondern Du mußt das ganz allgemein für alle reellen Zahlen x zeigen.


Zurück zur Aufgabe: unsere Abbildung L ist nunmal nicht auf den reellen Zahlen definiert, sondern auf den stetigen Funktionen.
So, wie Du für l Aussagen für alle [mm] x\in \IR [/mm] beweisen mußt, mußt Du hier für alle [mm] f\in C^1(\IR) [/mm] beweisen.

Dazu ist es hier nötig, zu wissen, wie die Funktionen f+g und a*f definiert sind. Nachschlagen, nicht ausdenken!
Damit's hier mal weiter geht, sag' ich's Dir:
die Funktion f+g ist definiert durch (f+g)(x):=f(x)+g(x) ,
die Funktion a*f ist definiert durch (af)(x):=af(x).

Ich mache Dir das oben jetzt mal vor und möchte, daß Du Dich anschließend eingehend mit L(f+g) beschäftigst.

Also:
sei [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] f\in C^1(\IR). [/mm]

Es ist
a*L(f)=a*(3f'(2) - f(5))  nach Def. von L
=3af'(2)-af(5)   Rechnen in den reellen Zahlen

und es ist
L(af)=3(af)'(2)-(af)(5)  nach Def. von L
=3*(af'(2))-(af)(5)     Ableitung eines Vielfachen
=3*(af'(2))-af(5)      Def. des Vielfachen einer Funktion
=3af'(2)-af(5)    Rechnen in den reellen Zahlen

Also ist a*L(f)=L(af) für alle [mm] f\in C^1(\IR) [/mm] und für alle [mm] a\in \IR. [/mm]

LG Angela



Bezug
        
Bezug
lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:15 Mi 16.05.2012
Autor: leduart

Hallo
[mm] f\in C^1 [/mm] heisst f mindestens 1 mal stetig differenzierbar.
linear musst du allgemein beweisen, fuer nicht linear brauchtest du nur ein Gegenbeispiel
Hinweis: die Summe von lin. Abbildungen ist linear.
Gruss leduart

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