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Forum "Lineare Abbildungen" - lineare Abbildung
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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
[mm] \delta [/mm] : [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, \delta (\vektor{x \\ y}) [/mm] =0
[mm] \gamma: \IR^2-> \IR^2 [/mm] , [mm] \gamma (\vektor{x \\ y})= \vektor{xy \\ 2x} [/mm]
[mm] \alpha: \IR^2->\IR, \alpha (\vektor{x \\ y \\z }) [/mm] = x - y + z

Hallo!!

Linearitätseigenschaften
[mm] f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) [/mm]
[mm] f(\lambda [/mm] x )= [mm] \lambda [/mm] f(x)


[mm] \delta (\vektor{x \\ y}) [/mm] =0
f ( [mm] \lambda \vektor{x \\ y})= [/mm]  f [mm] (\vektor{\lambda x \\ \lambda y}) [/mm]
Ich versteh nicht wie ich das machen soll?
Kann mir vielleicht wer- das für ein Bsp vorzeigen? Wenn ich es einmal sehe..
Liebe Grüße
        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Fr 02.12.2011
Autor: leduart

Hallo
die abbildung [mm] \delta [/mm] bildet alle vektoren des [mm] R^2 [/mm] auf 0 ab, also auch die summe von 2 vektoren und das produkt eines vektors mit nem Skalar
[mm] \delta(\vektor{rx\\ry}=0 [/mm] und  [mm] \delta(\vektor{x_1+x_\\y_1+y_2}=0 [/mm]
also linear
jetzt ein anderes Beispiel
[mm] g(\vektor{x\\y}=\vektor{x*y,y} [/mm]
[mm] g(\vektor{\lambda*x\\\lambda*y}=\vektor{\lambda^2*x^2\\ \lambda*y} \ne \lambda*\vektor{x\\y} [/mm]
also nicht linear.
jetzt du
Gruss leduart
Bezug
                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

Hallo
Danke.
[mm] \gamma: \IR^2-> \IR^2 [/mm]  ,  [mm] \gamma (\vektor{x \\ y})= \vektor{xy \\ 2x} [/mm]

-) Wird 0 auf 0 abgebildet?
x=0
y=0
[mm] \vektor{0 \\ 0}= \vektor{0*0 \\ 2*0} [/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0} [/mm]

-)
[mm] \gamma (\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2}) [/mm]  =  [mm] (\vektor{(x_1+x_2)*(y_1+y_2) \\ 2*(x_1+x_2)}) [/mm]
[mm] \gamma (\vektor{x_1 \\ y_1})+ \gamma (\vektor{x_2 \\ y_2}) [/mm] = [mm] (\vektor{x_1y_1 \\ 2x_1} [/mm] )+  [mm] (\vektor{x_2y_1 \\ 2x_2} [/mm] )
wie mache ich weiter? DIe sind doch nicht gleich oder?
Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Fr 02.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo theresetom,


> Hallo
>  Danke.
>  [mm]\gamma: \IR^2-> \IR^2[/mm]  ,  [mm]\gamma (\vektor{x \\ y})= \vektor{xy \\ 2x}[/mm]
>
> -) Wird 0 auf 0 abgebildet?
>  x=0
>  y=0
>  [mm]\vektor{0 \\ 0}= \vektor{0*0 \\ 2*0}[/mm]
>  [mm]\vektor{0 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0}[/mm] [ok]
>  
> -)
>  [mm]\gamma (\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2})[/mm]  =  
> [mm](\vektor{(x_1+x_2)*(y_1+y_2) \\ 2*(x_1+x_2)})[/mm]  [ok]
> [mm]\gamma (\vektor{x_1 \\ y_1})+ \gamma (\vektor{x_2 \\ y_2})[/mm]
> = [mm](\vektor{x_1y_1 \\ 2x_1}[/mm] )+  [mm](\vektor{x_2y_{\red{1}} \\ 2x_2}[/mm] ) ([ok])

Kleiner Verschreiber! Das muss eine [mm]\red{2}[/mm] sein ...

>  wie mache ich weiter? DIe sind doch nicht gleich oder?

Richtig!

Im Allgemeinen unterscheiden die beiden sich in der ersten Komponente.

Gib ein konkretes Zahlenbsp. an (also konkrete Vektoren [mm]\vec a=\vektor{x_1\\ y_1},\vec b=\vektor{x_2\\ y_2}[/mm]), für das die Ausdrücke [mm]\gamma\left(\vec a+\vec b\right)[/mm] und [mm]\gamma\left(\vec a\right)+\gamma(\vec b)[/mm] verschieden sind.

Damit hättest du die Additivität von [mm]\gamma[/mm] widerlegt.


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

danke, habs verstanden
Liebe Grüße
Bezug
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