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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 16.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe einen Ansatz oder Tipp geben.
Es sei [mm] A:R^2 [/mm] ---> [mm] R^2 [/mm] die lineare Abblidung mit <a href="http://www.ntsearch.com/search.php?q=Matrix&v=55">Matrix</a>
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] bezüglich der kanonischen Basis.
Gibt es eine Basis B des [mm] R^2, [/mm] so dass
[mm] [A]_B= \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta }
[/mm]
mit [mm] \alpha, \beta \in [/mm] R?
Nadja
ich habe diese Aufgabe in keinen anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Nadja
ein Tipp: repetiere die Bedeutung der Kolonnen eine Matrix.
Und dann zeichne die Situation auf ein Blappier.
Für dein Beispiel heisst das nämlich: durch die Abbildung wird der x-Basisvektor (so heisst der bei mir immer, wenn ich ein Skizze mache) auf den negativen y-Basisvektor abgebildet, und der y-Basisvektor auf den x-Basisvektor.
Wenn das nicht eine Drehung um 270° ist! (oder 90° rechts herum)
Auch durch geometrische Ueberlegungen kommst du wohl zum Schluss, dass es keine Eigenvektoren geben kann, und somit die Suchen nach einer geeigneten Basis in alle Ewigkeit erfolglos andauern wird.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Olek |
Das klingt soweit recht verständlich, aber wie verfasst man so eine Überlegung in mathematische Worte? Und ich bin mir auch nicht so sicher, ob wir da geometrische Überlegungen machen sollen, da wir das in der Vorlesung so noch nicht hatten!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Nadja
mir wäre lieber, du würdest schreiben: gottseidank, nicht mathematisch! So richtig zum Anfassen! 
Nein, im Ernst: man sollte sich zwischendurch schon mal ein Bild machen, um zu bergreifen, was man eigentlich mit den mathematischen Formeln so anstellt!
Eigentlich sollte dir nur mal klar werden, dass es bei dieser Abbildung keine Basis mit der gewünschten Eigenschaft gibt!
Wenn du meinen Tipp befolgt hast (hast du das?), dann hast du ja gesehen, dass die 1. Spalte gerade der Koordinatenvektor des Bildes des 1. Basisvektors ist und die 2. Spalte der Koordinatenvektor des Bildes des 2. Basisvektors ist. Bei mehr Dimensionden: etc..
Damit wird klar: gesucht ist zum Beispiel ein Vektor, welcher durch die Abbildung um den Faktor [mm] $\alpha$ [/mm] gestreckt wird. (Die erste Kolonne der gewünschten Matrix ist ja der um den Faktor [mm] $\alpha$ [/mm] gestreckte 1. Basisvektor, genauer: der Koordinatenvektor davon).
Suchen wir also einen solchen Vektor:
[mm] $A*x=\alpha*x$
[/mm]
Oder:
[mm] $A*x-\alpha*x=0$
[/mm]
Oder:
[mm] $(A-\alpha*E)x=0$
[/mm]
(E ist die Einheitsmatrix)
Weil x der erste Vektor einer Basis sein soll, kann er nicht der Nullvektor sein. Somit muss [mm] $(A-\alpha*E)$ [/mm] die Nullmatrix sein, oder ihre Determinante muss Null sein.
Berechnen wir doch einfach mal [mm] $(A-\alpha*E)$:
[/mm]
[mm] $\pmat{0&1\\-1&0}-\pmat{\alpha&0\\0&\alpha}=\pmat{-\alpha&1\\-1&-\alpha}$
[/mm]
Diese Matrix ist offensichtlich nicht die Nullmatrix. Somit muss halt doch ihre Determinante Null sein. Dies führt auf folgende Gleichung:
[mm] $\alpha^2+1=0$
[/mm]
Diese Gleichung besitzt in [mm] \IR [/mm] keine Lösung, es lässt sich also kein Vektor (ungleich Nullvektor) mit der geforderten Eigenschaft finden.
Noch am Rande: hätte man einen solchen Vektor gefunden, dann hätte man gesagt, das sein ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\alpha$.
[/mm]
So, kannst du jetzt etwas mehr anfangen? Mach aber die geometrischen Ueberlegungen trotzdem, auch wenn ihr sie hier nicht anwenden dürft!
Mit lieben Grüssen
Paul
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