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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | | Ist $F: V [mm] \to [/mm] W$ ein Isomorphismus und $V= [mm] U_1 \oplus U_2$, [/mm] so ist $W= [mm] F(U_1) \oplus F(U_2)$ [/mm] |
Weil F isomorph ist, ist dim(V) = dim(Im F) = dim(W) und [mm] dim(U_i) [/mm] = [mm] dim(F(U_i)) [/mm] mit i = 1,2
Aus der Dimensionsformel für direkte Summen $dim(V) = [mm] dim(U_1)+dim(U_2)-(dim(U_1\cupU_2)$ [/mm] und der isomorphie von F folgt
$dim(W) = dim (Im F) = [mm] dim(U_1) [/mm] + [mm] dim(U_2) [/mm] - [mm] dim(F(U_1\cup U_2))$
[/mm]
Reicht es als Argument, dass die beiden UVR die gleiche Dimension wie V (bzw. ihre Bilder wie W) haben?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 14.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Dennis!
> Ist [mm]F: V \to W[/mm] ein Isomorphismus und [mm]V= U_1 \oplus U_2[/mm], so
> ist [mm]W= F(U_1) \oplus F(U_2)[/mm]
>
> Weil F isomorph ist,
du meinst, weil $F$ ein Isomorphismus ist! $V$ und $W$ sind isomorph.
> ist
> dim(V) = dim(Im F) = dim(W) und [mm]dim(U_i)[/mm] = [mm]dim(F(U_i))[/mm] mit
> i = 1,2
Ja.
> Aus der Dimensionsformel für direkte Summen [mm]dim(V) = dim(U_1)+dim(U_2)-(dim(U_1\cupU_2)[/mm]
> und der isomorphie von F folgt
>
> [mm]dim(W) = dim (Im F) = dim(U_1) + dim(U_2) - dim(F(U_1\cup U_2))[/mm]
Du meinst [mm] $\cap$ [/mm] und nicht [mm] $\cup$.
[/mm]
> Reicht es als Argument, dass die beiden UVR die gleiche
> Dimension wie V (bzw. ihre Bilder wie W) haben?
Was genau meinst du damit?
Du brauchts uebrigens nix mit Dimensionen zu machen. Du musst doch nur zeigen:
a) [mm] $F(U_1) \cap F(U_2) [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und
b) [mm] $F(U_1) [/mm] + [mm] F(U_2) [/mm] = W$.
Das kannst du doch direkt nachrechnen, da ja
c) [mm] $U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und
d) [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = V$ gilt.
LG Felix
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