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limes, Stetigkeit: Richtiger Weg?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa

Aufgabe
Es Sei

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3n^2 -2n+5}-\wurzel{n}}{\wurzel{n^2-n+1}+4n} [/mm] (n=1,2,....)



Man berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}. [/mm] An welcher Stelle der Rechnung wird benutzt, dass die Wurzelfunktion x [mm] \to \wurzel{x} [/mm]  stetig ist?




Idee:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n^2}}{\wurzel{n^2}} \bruch{\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\wurzel{5}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}{\wurzel{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+4} [/mm]

= [mm] \bruch{\wurzel{3}}{5}, [/mm] da alles andere gegen 0 konvergiert.

Jetzt versteh ich nur nicht, worauf der Hinweis mit der Stetigkeit der Wurzelfunktion hinauswill! Oder soll man den Limes hier bedingt durch die Stetigkeit in die Wurzelfunktion hereinziehen?

Viele Grüße





        
Bezug
limes, Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09

Hallo Grischa,


leider kann ich die Bilder nicht aufrufen.

Bitte tippe doch alles ab. Ist sowieso angenehmer für die Helfer, wenn sie sich nicht durch Links durchwühlen müssen...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
limes, Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa

Habe ich auch gerade gesehen. Aufgabe ist aktualisiert.
Danke

Bezug
        
Bezug
limes, Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] =

(Da gehört kein "=" hin.)

> [mm]\bruch{\wurzel{n^2}}{\wurzel{n^2}} \bruch{\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}{\wurzel{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+4}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{5},[/mm] da alles andere gegen 0
> konvergiert.
>  
> Jetzt versteh ich nur nicht, worauf der Hinweis mit der
> Stetigkeit der Wurzelfunktion hinauswill!

Du benutzt im letzten Schritt dreimal die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Das siehst du, wenn du dir das Ganze genauer aufschreibst. Ich mache mal einen Teil vor:

Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}=3$ [/mm] folgt aus der Stetigkeit der Wurzelfunktion an der Stelle $x=3$, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}}=\wurzel3$ [/mm] gilt.

Bezug
                
Bezug
limes, Stetigkeit: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa

Super, der Formulierungstipp hat gefehlt. Danke.

Bezug
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