lim inf und lim sup < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 18.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, tut mir leid, dass ich euch heute so mit fragen bombandiere, wenn das zuviel wird, dann sagt einfach bescheid. Falls ihr noch einen moment zeit habt:
Gibt es den lim inf und lim sup nur bei Folgen die "springen" (bsp. alternierenden folgen)
und springen eigentlich nur alternierende folgen oder kann man auch eine folge definieren die hin und her springt mit zB nur positiven elementen ohne die folge durch ihre elemente anzugeben etc?
vielen vielen dank schonmal euch allen... gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 18.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo ari,
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> Gibt es den lim inf und lim sup nur bei Folgen die
> "springen" (bsp. alternierenden folgen)
>
Nein, den limsup und liminf gibt es in [mm] \IR [/mm] für jede beschränkte Folge - ganz im Gegensatz zum "echten" Grenzwert. Ich stelle mir den limsup bzw. liminf immer als Grenzwert der oberen bzw. unteren "Hüllkurve" der Folge (in einem Koordinatensystem) vor. Und wenn die Folge nicht "springt" (soll wohl heißen, dass sie nicht monoton ist) fallen eben beide "Hüllkurven" zusammen. (Im Fall einer konvergenten, "springenden" Folge nähern sie sich einander für große n beliebig dicht an.)
> und springen eigentlich nur alternierende folgen oder kann
> man auch eine folge definieren die hin und her springt mit
> zB nur positiven elementen ohne die folge durch ihre
> elemente anzugeben etc?
Aus einer alternierenden, beschränkten Folge kann man ganz einfach eine "springende" Folge mit nur positiven Gliedern machen, indem man einfach den Betrag einer unteren Schranke dazuzählt.
Bsp.: [mm]a_n = (-1)^n + 2[/mm] springt immer zwischen 1 und 3 hin und her.
Wenn das zu sehr nach alternierender Folge aussieht:
[mm]a_n = 2 + \sin n[/mm] springt ziemlich wirr im Bereich zwischen 1 und 3.
Gruß
piet
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