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| Aufgabe | Bestimmen Sie:
(a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ - i}\bruch{x^{4}-1}{x+i} [/mm] |
zu (a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1-x^{2}}{x^{2}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}} [/mm]
= -1
Stimmt das??
zu (b) Hier hab ich keine Ahnung wie ich den Bruch vereinfachen, bzw wie ich
ansetzen kann.
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Hallo Kruemel,
> Bestimmen Sie:
> (a) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x}[/mm]
>
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow\ - i}\bruch{x^{4}-1}{x+i}[/mm]
> zu (a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1-x^{2}}{x^{2}}[/mm]
?? Was hast du denn da gemacht?
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] - [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> = -1
> Stimmt das??
Nein ...
>
> zu (b) Hier hab ich keine Ahnung wie ich den Bruch
> vereinfachen, bzw wie ich
> ansetzen kann.
Denke für den Zähler mal an die dritte binomische Formel - und das zweimal 
Gruß
schachuzipus
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zu a)
Hier habe ich einfach alles einzeln quadriert um die Wurzel wegzubekommen, scheinbar kann ich das nicht machen ?? ... wie muss ich denn dann ansetzen?
zu b)
Ich hab das ausprobiert, kriegs aber nicht wirklich hin...
Also:
[mm] \bruch{x^{4}-1}{x+1} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{2}-1)({x^{2}+1)}}{(x+1)} =\bruch{(x+1)(x-i)({x^{2}-1)}}{(x+1)} [/mm] = [mm] (x-i)(x^{2}-1)
[/mm]
doch wie mache ich jetzt weiter ?
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Hallo,
> zu a)
> Hier habe ich einfach alles einzeln quadriert um die Wurzel
> wegzubekommen,
Wo hast du denn so etwas gelernt??? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> scheinbar kann ich das nicht machen ?? ...
> wie muss ich denn dann ansetzen?
Erweitere den ganzen Term mit
[mm] 1+\wurzel{1-x^2}
[/mm]
>
> zu b)
Vorneweg: was ist das jetzt im Nenner eigentlich für ein Summand? Ein i oder eine 1? Ich gehe jetzt mal von letzterem aus.
> Ich hab das ausprobiert, kriegs aber nicht wirklich
> hin...
> Also:
> [mm]\bruch{x^{4}-1}{x+1}[/mm] = [mm]\bruch{(x^{2}-1)({x^{2}+1)}}{(x+1)} =\bruch{(x+1)(x-i)({x^{2}-1)}}{(x+1)}[/mm]
> = [mm](x-i)(x^{2}-1)[/mm]
> doch wie mache ich jetzt weiter ?
Einfach mal -1 einsetzen (sofern meine obige Vermutung richtig ist)?
Gruß, Diophant
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zu a) Ich habe das nun erweitert, also
[mm] \bruch{(1-\wurzel{1-x^{2}})(1+\wurzel{1-x^{2}})}{x(1+\wurzel{1-x^{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{1-(1-x^{2})}{x+x\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1-1+x^{2}}{x+x\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{x+x\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Soweit richtig ?? .... Doch wie weiter ?
zu b) tut mir leid, habe mich vertippt, sollte i heißen und nicht 1 ... Also:
[mm] \bruch{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{(x+i)} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{2}-1)(x+i)(x-i)}{(x+i)} [/mm] = [mm] (x-i)(x^{2}-1) [/mm] ... Soweit richtig ?? Falls ja, kann ich dann jetzt einfach -i einsetzen?
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Also schreibe ich jetzt bei a) einfach =0 und bei b) einfach = -2i ? Danke für die tolle hilfe :D
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Hallo nochmal,
> Also schreibe ich jetzt bei a) einfach =0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \ = \ 0[/mm]
So etwa ...
> und bei b)
> einfach = -2i ?
Ich komme da auf was anderes ...
> Danke für die tolle hilfe :D
Ich sage mal im Namen des Forums: "Danke für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") "
Gruß
schachuzipus
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Ich hab ja [mm] (-i-i)((-i)^2 [/mm] -1) ... also -2i * 0 ?? ... also 0?
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Hi noch mal,
> Ich hab ja [mm](-i-i)((-i)^2[/mm] -1) ... also -2i * 0 ?? ... also
> 0?
Da steht doch nach der Vereinfachung [mm] $\lim\limits_{x\to -i}(x^2-1)(x-i)$
[/mm]
Und das ist [mm] $((-i)^2-1)(-i-i)=(-1-1)(-2i)=-2(-2i)=4i$
[/mm]
Or not?
Gruß
schachuzipus
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Uppps, da hab ich das mit dem [mm] i^2 [/mm] falsch gemacht. Danke :D
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Hallo nochmal,
[mm](-i)^2=(-1)^2\cdot{}i^2=1\cdot{}(-1)=-1[/mm]
Da lag der Hund begraben ...
Gruß und schönen Restabend!
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