lim (a_n b_n) = ... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | Geben Sie Beispiele von Folgen [mm] (a_n), (b_n) [/mm] an, mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \infty, \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = 0, so dass folgende Fälle eintreten
(i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
(ii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
(iii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n) [/mm] = c, mit vorgegebener Zahl [mm] c\in\IR
[/mm]
(iv) [mm] (a_n b_n) [/mm] beschränkt aber divergent. |
Hallo.
Ich wollte mich mal auf meine MfI1 - Klausur vorbereiten und bin auf eine alte Klausur gestoßen, in der diese Aufgabe gestellt wurde.
Ich stehe hier nun leider völlig auf dem Schlauch und habe keine Idee, wie ich das ganze zeigen bzw. bestimmen kann.
Meiner Meinung nach galt immer [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n b_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.
[/mm]
Aber wie soll denn dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n) [/mm] = [mm] \infty, [/mm] wenn einer der Faktoren bereits 0 ist.
Vielleicht kann ja jemand Licht ins dunkle bringen.
Würde mich jedefalls riesig freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Walde |
hi fvs,
> Geben Sie Beispiele von Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm] an, mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty, \limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]
> = 0, so dass folgende Fälle eintreten
>
> (i) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> (ii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n)[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> (iii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)[/mm] = c, mit
> vorgegebener Zahl [mm]c\in\IR[/mm]
> (iv) [mm](a_n b_n)[/mm] beschränkt aber divergent.
> Hallo.
>
> Ich wollte mich mal auf meine MfI1 - Klausur vorbereiten
> und bin auf eine alte Klausur gestoßen, in der diese
> Aufgabe gestellt wurde.
> Ich stehe hier nun leider völlig auf dem Schlauch und habe
> keine Idee, wie ich das ganze zeigen bzw. bestimmen kann.
>
> Meiner Meinung nach galt immer
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n b_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n.[/mm]
>
Nur wenn auch alle Grenzwerte existieren.
> Aber wie soll denn dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n b_n)[/mm]
> = [mm]\infty,[/mm] wenn einer der Faktoren bereits 0 ist.
Nicht einer der Faktoren ist Null, sondern nur der Grenzwert einer der beteiligten Folgen.
>
> Vielleicht kann ja jemand Licht ins dunkle bringen.
>
> Würde mich jedefalls riesig freuen.
Z.B. [mm] a_n=n^2 [/mm] und [mm] b_n=\bruch{1}{n}
[/mm]
dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=0
[/mm]
aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n*b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty
[/mm]
Vielleicht fallen dir jetzt für die anderen auch Beispiele ein?
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Danke für deine superschnelle Antwort. Das ist ja jetzt auch irgendwie logisch. Aber bei Teil (ii) stehe ich ein wenig auf dem Schlauch...
Kann man denn sagen: Sei [mm] (a_n) [/mm] = [mm] n^2 [/mm] und sei [mm] (b_n) [/mm] = -1/n. Dann gilt zunächst [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] -\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = 0. Aber insgesamt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n) [/mm] = -n = [mm] -\infty.
[/mm]
Wäre das so richtig?
zu (iii)
Hier stehe ich auch ein wenig auf dem schlauch, da ich nicht weiß, wie ich dieses c zu interpretieren habe. Ich kann zum Beispiel für [mm] (a_n) [/mm] = n und [mm] (b_n) [/mm] = 1/n sagen, dass gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n) [/mm] = 1, aber das erfüllt ja nun nicht Aussage (iii), oder?
zu (iv)
Dieser Aufgabentyp ist ja nun ganz anders, wie muss ich denn hier vorgehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Walde |
> Hallo.
>
> Danke für deine superschnelle Antwort. Das ist ja jetzt
> auch irgendwie logisch. Aber bei Teil (ii) stehe ich ein
> wenig auf dem Schlauch...
Gern geschehen
>
> Kann man denn sagen: Sei [mm](a_n)=n^2[/mm] und sei [mm](b_n)[/mm] = -1/n.
> Dann gilt zunächst [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] = 0. Aber insgesamt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)[/mm] = -n = [mm]-\infty.[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Fast, es muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] heissen (Vielleicht nur ein Tippfehler?), der Rest stimmt.
>
>
> zu (iii)
> Hier stehe ich auch ein wenig auf dem schlauch, da ich
> nicht weiß, wie ich dieses c zu interpretieren habe. Ich
> kann zum Beispiel für [mm](a_n)[/mm] = n und [mm](b_n)[/mm] = 1/n sagen, dass
> gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)[/mm] = 1, aber das
> erfüllt ja nun nicht Aussage (iii), oder?
Dein Beispiel ist schonmal richtig.Wenn du jetzt [mm] (a_n)=c*n [/mm] , [mm] c\in\IR [/mm] definierst , erhälst du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)=c
[/mm]
>
>
> zu (iv)
> Dieser Aufgabentyp ist ja nun ganz anders, wie muss ich
> denn hier vorgehen...
Überleg dir zuerst mal ein Beispiel für eine beschränkte aber divergente Folge. Wenn eine Folge einen Grenzwert haben soll, dann müssen alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Zum Beispiel ist
[mm] a_n=(-1)^n [/mm] zwar beschränkt, da [mm] -1\le(a_n)\le1, [/mm] aber divergent, weil es keinen eindeutigen Grenzwert hat. So in der Art musst du dir für das letzte was zusammenbasteln.
lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Nochmal vielen Dank für deine Nachricht. Bei (ii) hat sich wirklich nur ein kleiner Tippfehler eingeschlichen...
Bei (iii) hätte ich ja auch selbst drauf kommen können, aber immerhin die richtige Idee. :)
So, nun zu meinem Sorgenkind (iv).
Es muss ja weiterhin gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] = 0. Nun kann ich mir aber leider irgendwie noch nicht so richtig darunter vorstellen, was ich eigentlich machen soll.
Weil ich derzeit keine Folge kenne, die beschränkt ist, aber divergent. Die Folge darf somit also nicht monoton steigend oder fallend sein. Aber irgendwie habe ich da noch keine Idee, wie ich das anstellen soll.
Hilfe...
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Wie schon oben bemerkt, wäre [mm] (-1)^{n} [/mm] solch eine Folge. Nun muss man überlegen, wie man diese in zwei Faktoren teilen kann, sodass der eine Faktor alleine gegen Unendlich und der andere gegen 0 geht.
[mm] (-1)^{n} [/mm] = [mm] a^{n}*b^{n} [/mm] (Potenzgesetze!)
Man könnte zum Beispiel a = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] wählen, und b = 2.
Dann geht [mm] 2^{n} [/mm] gegen unendlich und [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right)^{n} [/mm] gegen 0. Und das ist auch wichtig! Wenn du [mm] (-1)^{n} [/mm] durch Faktoren darstellen willst, muss eine Folge ja auch wieder eine alternierende mit [mm] (-1)^{n}*c^{n} [/mm] sein.(hier ist c = [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] Wenn diese Folge nicht gegen 0 gehen würde, dann hätte sie keinen Grenzwert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > zu (iii)
> > Hier stehe ich auch ein wenig auf dem schlauch, da ich
> > nicht weiß, wie ich dieses c zu interpretieren habe. Ich
> > kann zum Beispiel für [mm](a_n)[/mm] = n und [mm](b_n)[/mm] = 1/n sagen, dass
> > gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)[/mm] = 1, aber das
> > erfüllt ja nun nicht Aussage (iii), oder?
>
> Dein Beispiel ist schonmal richtig.Wenn du jetzt [mm](a_n)=c*n[/mm]
> , [mm]c\in\IR[/mm] definierst , erhälst du
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)=c[/mm]
eine wirklich kleine Anmerkung:
Anstatt [mm] $a_n=c*n$ [/mm] und [mm] $b_n=\frac{1}{n}$ [/mm] für alle $n$ zu setzen (übrigens finde ich die Notation [mm] $(a_n)=c*n$ [/mm] nicht gelungen, da man linkerhand normalerweise eine Folge liest, und rechterhand ein Folgenglied; vll. wäre [mm] $(a_n)\equiv(c*n)$ [/mm] besser) sollte man hier
[mm] $a_n:=n$ [/mm] und [mm] $b_n:=\frac{c}{n}$ [/mm] für jedes $n$ definieren. Das ganze hat einen einfachen Grund:
Wenn man [mm] $x_n=c*n$ [/mm] und [mm] $y_n=\frac{1}{n}$ [/mm] betrachtet, so gilt nur [mm] $x_n \to \infty$, [/mm] wenn $c > 0$.
Den Fall $c < 0$ könnte man dann auf den Fall $c>0$ zurückführen, indem man dann anstatt [mm] $x_n=c*n$ [/mm] die Folge [mm] $(x'_n)_n$ [/mm] definiert durch $x'_n=-c*n$ betrachtet. Im Falle $c=0$ müsste man dann zudem zwei separate Folgen angeben (hier würde ja [mm] $(x_n)_n\equiv (0)_n$ [/mm] und damit [mm] $x_n \not\to \infty$ [/mm] gelten):
[mm] $x_n:=n$ [/mm] und [mm] $y_n:=0$ [/mm] für jedes $n$.
Diese Fallunterscheidung erspart man sich aber durch betrachten der Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\equiv(n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}\equiv \left(\frac{c}{n}\right)_{n \in \IN}$, [/mm] indem man also das $c$ nicht bei der Folge [mm] $(a_n)_n$, [/mm] sondern bei der Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] einschmuggelt (was übrigens auch deshalb naheliegend ist, weil man sich der $0$ von beiden Seiten nähern kann, aber wenn man sich " [mm] $\infty$ [/mm] " nähert, so wird die Folge zwangsweise ab einem Index nur noch positive Werte annehmen).
Gruß,
Marcel
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