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| Aufgabe | | [mm] tan(\bruch{x}{2})´ [/mm] |
Ich suche die ableitung. Mein Taschenrechner sagt: [mm] \bruch{\pi}{360*(cos (\bruch{x}{2}))²} [/mm]
meine rechnung ergibt: 0,5+0,5tan²(0,5x)
UNd in der Formelsammlung steht der Ansatz:
[mm] tan(\bruch{x}{2})= \bruch{sin(x)}{1+cos(x)} [/mm] aber wie ich damit jemals wieder auf die Lösung vom Taschenrechenr kommen soll weiss ich nicht. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]tan(\bruch{x}{2})´[/mm]
> Ich suche die ableitung. Mein Taschenrechner sagt:
> [mm]\bruch{\pi}{360*(cos (\bruch{x}{2}))²}[/mm]
Das kann ich mir nicht vorstellen, dass dein Taschenrechner so einen Mischmasch aus Gradmaß und Bogenmaß anzeigt!
> meine rechnung ergibt: 0,5+0,5tan²(0,5x)
> UNd in der Formelsammlung steht der Ansatz:
> [mm]tan(\bruch{x}{2})= \bruch{sin(x)}{1+cos(x)}[/mm] aber wie ich
> damit jemals wieder auf die Lösung vom Taschenrechenr
> kommen soll weiss ich nicht. Kann mir jemand helfen?
Wenn du einen Bruch [mm] \bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] ableitest, benötigst du die Quotientenregel
[mm] \left( \bruch{u}{v}\right)'=\bruch{u'v-uv'}{v^2}
[/mm]
In deinem Fall gilt u(x)= sin x und v(x)= 1+cos x.
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kannst du bitte mal das richtige Ergebniss posten. Damit ich weiss wann mein ergebniss richtig ist.
Zu meinem TR.: Ich habe einen TI-89Titanium. Der war nicht billig. Er sollte mir eigentlich das richtige Ergebniss ausgeben. Vielleicht ist meine Einstellung falsch. hat jemand erfahrung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> kannst du bitte mal das richtige Ergebniss posten. Damit
> ich weiss wann mein ergebniss richtig ist.
> Zu meinem TR.: Ich habe einen TI-89Titanium. Der war nicht
> billig. Er sollte mir eigentlich das richtige Ergebniss
> ausgeben. Vielleicht ist meine Einstellung falsch. hat
> jemand erfahrung?
Gegenfrage: wie sieht deine erste Ableitung nach Anwendung der Quotientenregel aus?
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[mm] \bruch{cos(x)+cos²(x)+sin²(x)}{(1+cos(x))²}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{cos(x)+cos²(x)+sin²(x)}{(1+cos(x))²}[/mm]
Wegen cos²(x)+sin²(x)=1 gilt dann
[mm]\bruch{cos(x)+cos²(x)+sin²(x)}{(1+cos(x))²}=\bruch{cos(x)+1}{(1+cos(x))²}=\bruch{1}{1+cos(x)} [/mm]
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Doch so einfach. Aber jetzt frage ich mich natürlichwas mit meinem Taschenrechner los ist.
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Hallo lotusblüte!
Es gilt folgende Identität:
[mm] $$\left[ \ \tan(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 1+\tan^2(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(z)}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Was ist mit dem faktor [mm] \bruch{\pi}{360} [/mm] ?
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Hallo lotusblüte!
Das ist mir auch etwas suspekt. Da kann halt nur der Umrechnungsfaktor von Gradmaß in Bogenmaß [mm] $\bruch{\pi}{180°}$ [/mm] sowie der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] als innere Ableitung dahinterstecken.
Gruß vom
Roadrunner
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Ich habe ein wenig rumgespielt und von Grad auf rad umgestellt und jetzt sagt er: [mm] \bruch{1}{2(cos(\bruch{x}{2}))²} [/mm] das ist ja wieder was anderes.
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hast du den selben Taschenrechner wie ich?
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Hallo Torsten!
Das ist nun auch die korrekte Lösung für die 1. Ableitung einschließlich innerer Ableitung!
Gruß vom
Roadrunner
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Es gibt "mehrere" Lösungen, die aber alle gleich sind:
[mm]tan'\left(\bruch{x}{2}\right) = \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2}*tan^{2}\left(\bruch{x}{2}\right) = \bruch{1}{1+cos(x)} = \bruch{1}{2*cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)}[/mm]
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Hallo lotusblüte,
du kannst dir mit Hilfe des Additionstheorems für [mm] \cos [/mm] überlegen, dass deine Ableitung und die deines TR identische Ausdrücke sind.
Es ist [mm] $\cos(x+y)=\cos(x)\cdot{}\cos(y)-\sin(x)\cdot{}\sin(y)$, [/mm] also
[mm] $\cos(x)=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Außerdem kannst du die 1 im Nenner schreiben als [mm] $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Damit ist dann [mm] $\frac{1}{1+\cos(x)}=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Das nun mit [mm] $\pi$ [/mm] erweitern:
[mm] $=\frac{\pi}{2\pi\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Nun entsricht [mm] $2\pi$ [/mm] ja $360°$, also passt es
Gruß
schachuzipus
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