laplace < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 22.01.2008 | | Autor: | toros |
hallo,
ich hab die gleichung [mm] \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0 [/mm] gegeben. mit hilfe eines separationsansatzes [mm] \phi=X(x)Y(y)Z(z) [/mm] gelangt man zu [mm] \frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2 Y}{dy^2}+\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=0 [/mm] und dadurch kommt man auf
[mm] \frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X}{dx^2}=-k^2
[/mm]
[mm] \frac{1}{Y(y)}\frac{d^2 Y}{dy^2}=-q^2
[/mm]
[mm] \frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=-\kappa^2
[/mm]
bis hier ist alles klar. kann mir nun einer bitte sagen, warum [mm] k^2+q^2=\kappa^2 [/mm] sein soll?
die lösung lautet also: [mm] \phi=e^{\pm ikx}e^{\pm iqy}e^{\pm i\sqrt{k^2+q^2} z}
[/mm]
nun ist die bedingung gegeben, dass [mm] \phi=0 [/mm] für x=0, y=0, z=0 sein muss. daraus soll sich unmittelbar ergeben, dass X, Y und Z folgende gestalt haben muss:
[mm] X=\sin [/mm] kx
[mm] Y=\sin [/mm] qy
[mm] Z=\sinh(\sqrt{k^2+q^2}z).
[/mm]
kann mir einer bitte sagen, wie man hierauf kommt?
danke!
gruss toros
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 22.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo toros!
> hallo,
>
> ich hab die gleichung [mm]\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0[/mm]
> gegeben. mit hilfe eines separationsansatzes
> [mm]\phi=X(x)Y(y)Z(z)[/mm] gelangt man zu [mm]\frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2 Y}{dy^2}+\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=0[/mm]
> und dadurch kommt man auf
> [mm]\frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X}{dx^2}=-k^2[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2 Y}{dy^2}=-q^2[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=-\kappa^2[/mm]
> bis hier ist
> alles klar. kann mir nun einer bitte sagen, warum
> [mm]k^2+q^2=\kappa^2[/mm] sein soll?
Da stimmt was nicht ganz, das passt nicht zusammen. Ich nehme an (auch aus den folgenden Gleichungen, s.u.), dass da
[mm] \frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=\red{+}\kappa^2[/mm]
steht.
Dann setzt du die einzelnen Terme in die Gleichung
[mm]\frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2 Y}{dy^2}+\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2 Z}{dz^2}=0[/mm]
ein und erhälst [mm] -k^2-q^2+\kappa^2 = 0[/mm].
> die lösung lautet also: [mm]\phi=e^{\pm ikx}e^{\pm iqy}e^{\pm i\sqrt{k^2+q^2} z}[/mm]
Hier ist wohl das i im letzten Exponenten zu viel:
[mm]\phi=e^{\pm ikx}e^{\pm iqy}e^{\pm \sqrt{k^2+q^2} z}[/mm]
Das sind acht verschiedene Lösungen (durch Kombination aller Vorzeichen in den drei Exponenten). Die allgemeine Lösung ergibt sich als Linearkombination dieser acht Lösungen:
[mm] \phi = (C_1* e^{+ ikx} +C_2 * e^{-ikx}) * (C_3* e^{+ iqy} +C_4 * e^{-iqy}) * (C_5 * e^{+ \sqrt{k^2+q^2} z} +C_6*e^{- \sqrt{k^2+q^2} z}) [/mm]
> nun ist die bedingung gegeben, dass [mm]\phi=0[/mm] für x=0, y=0,
> z=0 sein muss. daraus soll sich unmittelbar ergeben, dass
> X, Y und Z folgende gestalt haben muss:
> [mm]X=\sin[/mm] kx
> [mm]Y=\sin[/mm] qy
> [mm]Z=\sinh(\sqrt{k^2+q^2}z).[/mm]
> kann mir einer bitte sagen, wie man hierauf kommt?
Aus [mm]\phi(x=0)=0[/mm] folgt [mm]C_2=-C_1[/mm]. Ebenso ergibt sich [mm]C_4=-C_3[/mm] und [mm]C_6=-C_5[/mm], sodass gerade Sinus und Hyperbelsinus übrig bleiben:
[mm] \phi = (2iC_1)\sin(kx) * (2iC_3) \sin(qy) * (2C_5) \sinh(\sqrt{k^2+q^2} z) = (-8C_1C_3C_5) \sin(kx) * \sin(qy) * \sinh(\sqrt{k^2+q^2} z)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mi 23.01.2008 | | Autor: | toros |
hi,
danke! habs verstanden. eine frage hab ich aber noch. warum wählt man gerade die konstanten [mm] -k^2,-q^2,+\kappa^2 [/mm] und nicht irgendwelche andere wie z.b. [mm] -k,-q,+\kappa [/mm] oder [mm] -k^2,-q^2,-\kappa^2 [/mm] oder [mm] -k^3,-q^2,+\kappa? [/mm] wenn man nicht gerade die konstanten oben wählt, dann erhählt man ja auch eine andere lösung, oder?
gruss toros
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 23.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo toros!
> danke! habs verstanden. eine frage hab ich aber noch. warum
> wählt man gerade die konstanten [mm]-k^2,-q^2,+\kappa^2[/mm] und
> nicht irgendwelche andere wie z.b. [mm]-k,-q,+\kappa[/mm] oder
> [mm]-k^2,-q^2,-\kappa^2[/mm] oder [mm]-k^3,-q^2,+\kappa?[/mm] wenn man nicht
> gerade die konstanten oben wählt, dann erhählt man ja auch
> eine andere lösung, oder?
Nein, die Lösung ist immer dieselbe. Du könntest statt [mm]-k^2[/mm] auch a wählen, statt [mm]-q^2[/mm] die Variable b, und statt [mm]\kappa^2[/mm] zum Beispiel c. Dann kommt die Bedingung
[mm] a+b+c=0[/mm]
heraus, und in der Lösung steht dann
[mm] \Phi= C \sinh(\wurzel{a}x) \sinh(\wurzel{b}y) \sinh (\wurzel{-a-b}z) [/mm]
Das ist dieselbe Lösung, denn einem positiven Wert von [mm]-k^2[/mm] entspricht ein komplexer, rein imaginärer Wert von [mm]\wurzel{a}[/mm], der mit der Beziehung
[mm]\sinh(ix) = i\sin(x) [/mm]
wieder auf die alte Form der Lösung führt.
Man wählt also die Konstanten so, damit hinterher die Lösung möglichst einfach aussieht.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
