l´Hospital < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Schönen Guten Abend!
Habe folgende Aufgabe, soll zeigen, dass [mm] f(z)=\bruch{(e^{z}-1)+z^{4}}{sin^{2}(z)} [/mm] bei z=0 eine Nullstelle hat. Wenn die Funktion über den reellen zahlen definiert wäre würde ich das mit L´Hospital machen, geht das im Komplexen auch so? Und wenn ja mit welcher Begründung?
MfG
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Jenny,
> Habe folgende Aufgabe, soll zeigen, dass
> [mm]f(z)=\bruch{(e^{z}-1)+z^{4}}{sin^{2}(z)}[/mm] bei z=0 eine
> Nullstelle hat.
hat sie jedoch nicht; sie hat dort stattdessen einen Pol erster Ordnung. Kann es sein, dass du im Zaehler [mm] $(e^z [/mm] - [mm] 1)^3$ [/mm] oder so etwas hast?
> Wenn die Funktion über den reellen zahlen
> definiert wäre würde ich das mit L´Hospital machen, geht
> das im Komplexen auch so? Und wenn ja mit welcher
> Begründung?
So ganz allgemein:
Ich wuerd eine Potenzreihenentwicklung bzw. Laurentreihenentwicklung von $f$ um $0$ machen, bzw. den Anfang davon berechnen. Es reicht ja zu zeigen, dass alle Koeffizienten von [mm] $z^i$ [/mm] mit $i [mm] \le [/mm] 0$ gerade $0$ sind; dann ist $f$ in $0$ holomorph und hat dort eine Nullstelle.
LG Felix
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