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| Aufgabe | Zeigen sie:
seien A [mm] \in \IR^{m x n} [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] n, und b [mm] \in \IR^n [/mm] , Rang A= n. Dann löst [mm] x^{\*} [/mm] genau dann die lineare [mm] l_{2} [/mm] - Ausgleichsaufgabe
min [mm] \parallel [/mm] Ax-b [mm] \parallel_{2} [/mm] , x [mm] \in \IR^n [/mm] ,
wenn [mm] x^{\*} [/mm] Lösung des linearen Gleichungssystems [mm] A^T [/mm] Ax = [mm] A^T [/mm] b ist. |
also ich habe sehr viele Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, ich weiß, dass ich eine Lagrangefunktion und die KKT-Bedingungen für das Minimierungsproblem aufstellen muss, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll. Ich brauche dringend hilfe..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 16.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> Zeigen sie:
> seien A [mm]\in \IR^{m x n}[/mm] mit m [mm]\ge[/mm] n, und b [mm]\in \IR^n[/mm] ,
> Rang A= n. Dann löst [mm]x^{\*}[/mm] genau dann die lineare [mm]l_{2}[/mm] -
> Ausgleichsaufgabe
> min [mm]\parallel[/mm] Ax-b [mm]\parallel_{2}[/mm] , x [mm]\in \IR^n[/mm] ,
> wenn [mm]x^{\*}[/mm] Lösung des linearen Gleichungssystems [mm]A^T[/mm] Ax
> = [mm]A^T[/mm] b ist.
> also ich habe sehr viele Schwierigkeiten mit dieser
> Aufgabe, ich weiß, dass ich eine Lagrangefunktion und die
> KKT-Bedingungen für das Minimierungsproblem aufstellen
> muss, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.
Okay, das ist doch schon mal gut.
> Ich brauche dringend hilfe..
> LG
[mm]min \ \ \parallel{Ax-b}\parallel_2[/mm] ist minimal genau dann, wenn [mm]min \ \ \parallel{Ax-b}\parallel_2^2[/mm] minimal. Gilt wegen [mm]\parallel{\cdot}\parallel_2 \ > \ 0[/mm].
Wie sieht nun [mm] \parallel{Ax-b}\parallel_2^2=...[/mm] aus?
Bestimmt für das Minimierungsproblem [mm]\min_x \ \ \parallel{Ax-b}\parallel_2^2[/mm] die Lagrangefunktion und KKT-Bedingung.
Gruß
barsch
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also ich glaube das sieht so aus:
min [mm] \parallel{Ax-b}\parallel_2 [/mm] = [mm] (Ax-b)^T [/mm] (Ax-b)
stimmt das?
die Lagrangefunktion sieht ja allgemein so aus:
[mm] L(x,\lambda [/mm] , [mm] \mu) [/mm] = f(x) - [mm] \lambda^T [/mm] g(x) [mm] -\mu^T [/mm] h(x)
mein Problem ist aber, ich habe ja keine Nebenbedingungen g und h , wei soll ich dann die Larangefunktion aufstellen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 17.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> also ich glaube das sieht so aus:
>
> min [mm]\parallel{Ax-b}\parallel_2[/mm] = [mm](Ax-b)^T[/mm] (Ax-b)
> stimmt das?
ja, und weiter? Das kann man noch weiter ausrechnen.
>
> die Lagrangefunktion sieht ja allgemein so aus:
> [mm]L(x,\lambda[/mm] , [mm]\mu)[/mm] = f(x) - [mm]\lambda^T[/mm] g(x) [mm]-\mu^T[/mm] h(x)
> mein Problem ist aber, ich habe ja keine Nebenbedingungen g
> und h , wei soll ich dann die Larangefunktion aufstellen?
Dann ist [mm]L=f(x)[/mm].
Gruß
barsch
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