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| Aufgabe | gegeben ist die funktion f (kleines)t(x) durch:
ft(x)= [mm] 1/2x^3-t*x^2+1/2t^2x [/mm] (Ihr schaubild sei Kt)
....
c) eine parabel zweiter ordnung P(kleiin)t geht durch die gemeinsamen Punkte von Kt mit der x-achse und berührt Kt im Urpsrung.weise durch rechnung nach, dass Kt und Pt keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. |
eine parabel zweiter ordnung hat doch die gleichung: [mm] f(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
die schnittpunkte von Kt mit der x-achse liegen bei:
A(0/0) (-->gleichzeitig auch urprung) und B(3/0).
ich hab jetzt überlegt die beiden gleichungen gleichzusetzen aber weiß nicht ob ich erst werte für a,b,c rauskriegen muss.
ich hab dann überlegt Punkt A und B in die parabelgleichung einzusetzen.
also: für A(0/0)
[mm] 0=a*0^2+b*0+c
[/mm]
-->0=c
für B(0/0):
[mm] 0=a*3^2+b*3+c
[/mm]
--> 0=9a+3b+c I für c =0 einsetzen
0=9a+3b+0...
und dann ausrechnen sodass man a.b und c hat und dann mit Kt gleichsetzen kann??
bin ich so auf dem richtigen weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi mathfreak,
> gegeben ist die funktion f (kleines)t(x) durch:
> ft(x)= [mm]1/2x^3-t*x^2+1/2t^2x[/mm] (Ihr schaubild sei Kt)
>
> ....
> c) eine parabel zweiter ordnung P(kleiin)t geht durch die
> gemeinsamen Punkte von Kt mit der x-achse und berührt Kt im
> Urpsrung.weise durch rechnung nach, dass Kt und Pt keine
> weiteren gemeinsamen Punkte haben.
> eine parabel zweiter ordnung hat doch die gleichung:
> [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
>
> die schnittpunkte von Kt mit der x-achse liegen bei:
>
> A(0/0) (-->gleichzeitig auch urprung) und B(3/0).
>
> ich hab jetzt überlegt die beiden gleichungen
> gleichzusetzen aber weiß nicht ob ich erst werte für a,b,c
> rauskriegen muss.
>
> ich hab dann überlegt Punkt A und B in die parabelgleichung
> einzusetzen.
>
> also: für A(0/0)
> [mm]0=a*0^2+b*0+c[/mm]
>
> -->0=c
>
> für B(0/0):
du meinst B(3|0)
>
> [mm]0=a*3^2+b*3+c[/mm]
> --> 0=9a+3b+c I für c =0 einsetzen
>
> 0=9a+3b+0...
Soweit so gut, es fehlt noch, dass [mm] P_t [/mm] und [mm] K_t [/mm] sich im Ursprung berühren, d.h. Die Parabel hat in (0|0) dieselbe Steigung wie [mm] K_t. [/mm] Daraus erhälst du eine weitere Gleichung. Mit dieser und 0=9a+3b kannst du dann noch a und b bestimmen.
>
> und dann ausrechnen sodass man a.b und c hat und dann mit
> Kt gleichsetzen kann??
Genau. Gleichsetzen und zeigen, dass es ausser den genannten Punkten keine weiteren gemeinsamen gibt.
>
>
> bin ich so auf dem richtigen weg?
>
Yo.
L G walde
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ich weiß nicht genau wie ich auf die dritte gleichung kommen soll.
wenn Pt und Kt diesselbe steigung an dieser stelle haben
soll ich dann Pt einfach ableiten weil es gilt doch:m=f'(x)
dann wär ja die dritte gleichung:
f'(x)=2ax+b
da der urprung (0/0) ist kann man für y und x 0 einsetzen.
das ergibt doch dann:
0=b
dann hab ich doch schon b und c und kann a ausrechnen?!!
oder hab ich jetzt hier falsch gerechnet??
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
> ich weiß nicht genau wie ich auf die dritte gleichung
> kommen soll.
> wenn Pt und Kt diesselbe steigung an dieser stelle haben
>
> soll ich dann Pt einfach ableiten weil es gilt
> doch:m=f'(x)
>
> dann wär ja die dritte gleichung:
> f'(x)=2ax+b
Ganz genau.
>
> da der urprung (0/0) ist kann man für y und x 0 einsetzen.
Nein, du musst zwar für x=0 einsetzen, aber wie ist denn die Steigung von [mm] K_t [/mm] in diesem Punkt? Die ist nicht Null (,sondern müsste [mm] 0,5t^2 [/mm] sein.)
es gilt dann also [mm] b=0,5t^2 [/mm]
Dann kriegst du über die andere Gleichung noch a raus.
L G walde
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also heißt das b=m ??
so komme ich zu :
1.c=0
2.0=9a+3b
3. [mm] 1/2t^2=b
[/mm]
also ist: Pt f(x)= [mm] -1/3t^2x^2+1/2t^2
[/mm]
nun kann ich gleichsetzen. ich bin mir hier beim verrechnen etwas unsicher:
Pt=Wt
[mm] -1/3t^2x^2+1/2t^2= 1/2x^3 [/mm] - [mm] tx^2 [/mm] +1/2t^2x I - Pt
0= [mm] 1/2x^3 -tx^2 [/mm] +1/2t^2x [mm] +1/3t^2x^2 [/mm] - [mm] 1/2t^2
[/mm]
0= [mm] 1/2x^3 -2/3t^3x^2 [/mm] + 1/2t^2x - [mm] 1/2t^2
[/mm]
wenn ich [mm] ^-tx^2+ 1/3t^2x^2 [/mm] verrechne
ist das dann richtig -t+ [mm] t^2 =t^3 [/mm] ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
> also heißt das b=m ??
Ich sortiere mal etwas die Begriffe:
Du hast die Parabel [mm] p_t(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
und demzufolge [mm] p_t'(x)=2ax+b
[/mm]
und du hast die Funktion (mit Schaubild [mm] K_t [/mm] ) [mm] f_t(x)=$ 1/2x^3-t\cdot{}x^2+1/2t^2x [/mm] $
und demzufolge [mm] f_t'(x)=3/2x^2-2tx+1/2t^2
[/mm]
und aus der Berühr-Bedingung im Ursprung folgt:
[mm] f_t'(0)=p_t'(0)
[/mm]
also
[mm] 1/2t^2=b
[/mm]
OK.
>
> so komme ich zu :
>
> 1.c=0
> 2.0=9a+3b
> 3. [mm]1/2t^2=b[/mm]
Ja
>
>
> also ist: Pt f(x)= [mm]-1/3t^2x^2+1/2t^2[/mm]
Nein. Es folgt aus [mm] 0=9a+3b=9a+3/2t^2 [/mm] und damit [mm] a=-1/6t^2
[/mm]
>
>
> nun kann ich gleichsetzen. ich bin mir hier beim verrechnen
> etwas unsicher:
Da dein [mm] p_t [/mm] falsch war, musst du die folgende Rechnung leider nochmal machen. Aber dein Weg ist Ok. Gleichsetzten, dann solltest du (so sagt es die Aufgabenstellung) als Lösungen nur [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] erhalten.
>
> Pt=Wt
>
> [mm]-1/3t^2x^2+1/2t^2= 1/2x^3[/mm] - [mm]tx^2[/mm] +1/2t^2x I - Pt
>
>
> 0= [mm]1/2x^3 -tx^2[/mm] +1/2t^2x [mm]+1/3t^2x^2[/mm] - [mm]1/2t^2[/mm]
>
>
>
> 0= [mm]1/2x^3 -2/3t^3x^2[/mm] + 1/2t^2x - [mm]1/2t^2[/mm]
>
> wenn ich [mm]^-tx^2+ 1/3t^2x^2[/mm] verrechne
>
> ist das dann richtig -t+ [mm]t^2 =t^3[/mm] ???
L G walde
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