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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Biggles |
| Aufgabe | Ein Fahrzeug fährt 1km vor Ortseingang mit einer Geschwindigkeit von 65 km/h. Nach 25s hat es 350 m, nach 40s bereits 750m zurückgelegt. Nach 1min. passiert passiert es mit der ordnungsgemäßen Geschwindigkeit von 50km/h das Ortseingangschild
Verwenden Sie einen kubischen Spline zur Bestimmung der nach 30s zurückgelegten Wegstrecke. |
Hallo.
Ich verstehe die Lösung nicht, die wie folgt aussieht
Lösung
65km/h = 18,06 m/s
50km/h = 13,89 m/s
s'(0) = 18.06
s'(60) = 13.89
[mm] $p_i(x) [/mm] = [mm] a_ix^3 [/mm] + [mm] b_ix^2+c_ix+d_i$
[/mm]
Es ergeben sich 12 Gleichungen für 12 Parameter
[mm] $a_0*0+b_0*0+c_0*0+d_0 [/mm] =0$
[mm] $a_0*25^3+b_0*25^2+c_o*25+d_0 [/mm] = 350$
[mm] $a_0*40^3+b_0*40^2+c_o*40+d_0 [/mm] = 750$
[mm] $a_0*60^3+b_0*60^2+c_o*60+d_0 [/mm] = 1000$
(Soweit klar)
Aber was sind das jetzt für Formeln (in meinem Skript, was der Prof provesorisch unter Zeitdruck zusammengestellt hat, finde ich eine Formel nicht, die dies erklärt)
[mm] $3*25^2*(a_0-a_1)+2*25(b_0-b1)+(c_0-c_1) [/mm] = 0$
[mm] $3*40^2*(a_0-a_1)+2*40(b_0-b1)+(c_0-c_1) [/mm] = 0$
[mm] $6*25^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) [/mm] = 0$
[mm] $6*40^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) [/mm] = 0$
[mm] $3*a_2*60^2+2*b_2*60+c_2$
[/mm]
[mm] $c_0 [/mm] = 18.06$
[mm] $c_2 [/mm] = 13.89$
Also meine Fragen sind,
a)wo kommen die letzten 7 Formeln her (welche Formel wurde da verwendet)
b)Und was ist die zwöflte Gleichung?
Das sind wahrscheinlich schon sehr umfassende Fragen, aber als Anfänger hat man nunmal auch mit so etwas Schwierigkeiten
Danke für eure Hilfe
Biggles
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> Ein Fahrzeug fährt 1km vor Ortseingang mit einer
> Geschwindigkeit von 65 km/h. Nach 25s hat es 350 m, nach
> 40s bereits 750m zurückgelegt. Nach 1min. passiert passiert
> es mit der ordnungsgemäßen Geschwindigkeit von 50km/h das
> Ortseingangschild
> Verwenden Sie einen kubischen Spline zur Bestimmung der
> nach 30s zurückgelegten Wegstrecke.
> Hallo.
> Ich verstehe die Lösung nicht, die wie folgt aussieht
>
> Lösung
> 65km/h = 18,06 m/s
> 50km/h = 13,89 m/s
> s'(0) = 18.06
> s'(60) = 13.89
>
> [mm]p_i(x) = a_ix^3 + b_ix^2+c_ix+d_i[/mm]
>
> Es ergeben sich 12 Gleichungen für 12 Parameter
>
> [mm]a_0*0+b_0*0+c_0*0+d_0 =0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]a_0*25^3+b_0*25^2+c_o*25+d_0 = 350[/mm]
>
> [mm]a_0*40^3+b_0*40^2+c_o*40+d_0 = 750[/mm] ???
>
> [mm]a_0*60^3+b_0*60^2+c_o*60+d_0 = 1000[/mm] ???
>
> (Soweit klar)
mir nur teilweise...
> Aber was sind das jetzt für Formeln (in meinem Skript, was
> der Prof provesorisch unter Zeitdruck zusammengestellt hat,
> finde ich eine Formel nicht, die dies erklärt)
>
> [mm]3*25^2*(a_0-a_1)+2*25(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
>
> [mm]3*40^2*(a_0-a_1)+2*40(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
>
> [mm]6*25^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
>
> [mm]6*40^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
>
> [mm]3*a_2*60^2+2*b_2*60+c_2[/mm]
(das letzte ist gar keine Gleichung)
>
> [mm]c_0 = 18.06[/mm]
> [mm]c_2 = 13.89[/mm]
>
> Also meine Fragen sind,
>
> a)wo kommen die letzten 7 Formeln her (welche Formel wurde
> da verwendet)
>
> b)Und was ist die zwöflte Gleichung?
>
> Das sind wahrscheinlich schon sehr umfassende Fragen, aber
> als Anfänger hat man nunmal auch mit so etwas
> Schwierigkeiten
>
> Danke für eure Hilfe
> Biggles
Hi Biggles,
ein paar Vorfragen:
1.) ich hoffe, dass du grundsätzlich verstehst, was man mit den Splines
beabsichtigt und was die Polynome [mm] p_i [/mm] (i=0,1,2) bedeuten sollen ?
2.) ist dir klar, welche Funktion genau hier durch Spline-Funktionen
approximiert werden soll ?
und dann:
3.) ich stimme mit deinen ersten beiden Gleichungen überein
bist du aber sicher, dass deine 3. und 4. Gleichung auch stimmen ?
(ich glaube: nein)
Der Spline besteht hier aus insgesamt 3 kubischen Funktionen [mm] p_0, p_1, p_2.
[/mm]
Jede davon ist "zuständig" für eines der 3 Teilintervalle.
Woher ergeben sich nun die genau 12 Gleichungen für alle 12
Koeffizienten?
6 Gleichungen kommen aus den y-Koordinaten (eigentlich s-Koord.)
der 4 Fixpunkte der Kurve (hast du dir eine Zeichnung gemacht ?).
2 kommen von den angegebenen fixen Geschwindigkeiten.
2 weitere kommen daher, dass an den inneren beiden Fixpunkten
keine Knicke (abrupte Geschwindigkeitsänderungen !) sein dürfen.
Bleiben 2 weitere: man verlangt noch, dass an den inneren
beiden Fixpunkten auch die 2.Ableitungen (Beschleunigung)
keinen Sprung machen (also nicht abrupt Gas geben oder bremsen!).
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Biggles |
Hallo
> >
> > [mm]a_0*40^3+b_0*40^2+c_o*40+d_0 = 750[/mm] ???
> >
> > [mm]a_0*60^3+b_0*60^2+c_o*60+d_0 = 1000[/mm] ???
> >
> > (Soweit klar)
>
> mir nur teilweise...
Nicht? Das stand aber leider so in der "Musterlösung"
Wie soll man den Stoff den nur verstehen, wenn man immer wieder so einen Mist präsentiert bekommt...
> > Aber was sind das jetzt für Formeln (in meinem Skript, was
> > der Prof provesorisch unter Zeitdruck zusammengestellt hat,
> > finde ich eine Formel nicht, die dies erklärt)
> >
> > [mm]3*25^2*(a_0-a_1)+2*25(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> >
> > [mm]3*40^2*(a_0-a_1)+2*40(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> >
> > [mm]6*25^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> >
> > [mm]6*40^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> >
> > [mm]3*a_2*60^2+2*b_2*60+c_2[/mm]
>
> (das letzte ist gar keine Gleichung)
> > [mm]c_0 = 18.06[/mm]
> > [mm]c_2 = 13.89[/mm]
> >
> > Also meine Fragen sind,
> >
> > a)wo kommen die letzten 7 Formeln her (welche Formel wurde
> > da verwendet)
> >
> > b)Und was ist die zwöflte Gleichung?
> >
> > Das sind wahrscheinlich schon sehr umfassende Fragen, aber
> > als Anfänger hat man nunmal auch mit so etwas
> > Schwierigkeiten
> ein paar Vorfragen:
>
> 1.) ich hoffe, dass du grundsätzlich verstehst, was man
> mit den Splines
> beabsichtigt und was die Polynome [mm]p_i[/mm] (i=0,1,2)
> bedeuten sollen ?
Nein. Habe ich leider nicht.
Ich weiß, dass man auf einem intervall [mm] [x_i,x_{i+1}] [/mm] ein Polynom dritten Grades bestimmen versucht. Genau das bezeichnen wir dann auch mit [mm] p_i, [/mm] also quasi pro Intervall eine Funktion dritten Grades. Für jede Funktion dritten Grades brauchen wir vier Bedingungen, damit brauche wir i = 0,1,2
> 2.) ist dir klar, welche Funktion genau hier durch
> Spline-Funktionen
> approximiert werden soll ?
Eine andere Funktion dritten Grades? Ich denke, es soll eine Funktion dritten Grades durch ein kubischen Spline approximiert werden. Und diese zu approximierende Funktion ergibt sich aus den Punkten, die in der Aufgabe gegeben sind, sprich zu welchem Zeitpunkt hat das Auto welche Strecke zurückgelegt.
>
> und dann:
>
> 3.) ich stimme mit deinen ersten beiden Gleichungen
> überein
> bist du aber sicher, dass deine 3. und 4. Gleichung
> auch stimmen ?
> (ich glaube: nein)
Wenn du das sagst, schließe ich mich deiner Meinung an, weil ich da wirklich gar keine Ahnung habe.
Beim Nachfolgenden Text kann ich dir leider nicht ganz folgen.
> Der Spline besteht hier aus insgesamt 3 kubischen
> Funktionen [mm]p_0, p_1, p_2.[/mm]
> Jede davon ist "zuständig" für
> eines der 3 Teilintervalle.
>
> Woher ergeben sich nun die genau 12 Gleichungen für alle
> 12
> Koeffizienten?
>
> 6 Gleichungen kommen aus den y-Koordinaten (eigentlich
> s-Koord.)
Welche Gleichungen wären das denn?
> der 4 Fixpunkte der Kurve (hast du dir eine Zeichnung
> gemacht ?).
Du schreibst das hier alles so selbstverständlich hin, wo das herkommt. Sogar anwendungsbezogen. Das ist leider mein Problem, gibts dafür nicht irgendwelche Fertigformeln? Weil ich kann die Gleichungen bei anderen Aufgaben dann vermutlich nicht aufstellen
>
> 2 kommen von den angegebenen fixen Geschwindigkeiten.
>
> 2 weitere kommen daher, dass an den inneren beiden
> Fixpunkten
> keine Knicke (abrupte Geschwindigkeitsänderungen !) sein
> dürfen.
>
> Bleiben 2 weitere: man verlangt noch, dass an den inneren
> beiden Fixpunkten auch die 2.Ableitungen (Beschleunigung)
> keinen Sprung machen (also nicht abrupt Gas geben oder
> bremsen!).
Na gut, herausgefunden habe ich, dass
> > [mm]c_0 = 18.06[/mm]
> > [mm]c_2 = 13.89[/mm]
entspricht dann [mm] p_0'(0) [/mm] und [mm] p_2'(60) [/mm] ergeben [mm] c_0 [/mm] und [mm] c_2
[/mm]
Ich hoffe, du rastest nicht aus, aber wie ich diese Gleichungen jetzt aufstelle, habe ich leider immer noch nicht verstanden
Und welche Gleichung fehlt, weil da ja nur 11 stehen und 2 davon waren auch noch falsch, worüber ich mich gerade total ärgere
Grüße,
Biggles
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O.K., hier bin ich wieder.
> > > [mm]a_0*40^3+b_0*40^2+c_o*40+d_0 = 750[/mm] ???
> > >
> > > [mm]a_0*60^3+b_0*60^2+c_o*60+d_0 = 1000[/mm] ???
> > >
> > > (Soweit klar)
> >
> > mir nur teilweise...
>
> Nicht? Das stand aber leider so in der "Musterlösung"
> Wie soll man den Stoff den nur verstehen, wenn man immer
> wieder so einen Mist präsentiert bekommt...
Das Polynom [mm] p_0 [/mm] (also das mit den Koeffizienten [mm] a_0,b_0,c_0,d_0)
[/mm]
ist nur zuständig für das erste Teilintervall [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 25
Also macht es keinen Sinn, in dieses Polynom auch die t-Werte 40
und 60 einzusetzen.
(Man bekäme aus diesen ersten 4 Gleichungen eine andere
kubische Funktion, nämlich jene, die durch die 4 Fixpunkte
geht, aber mit dem gesuchten Spline ungefähr gar nichts
zu tun hat. Sollte also diese "Musterlösung" vom Dozenten
stammen, müsste ich erhebliche Bedenken anmelden.)
>
> > > Aber was sind das jetzt für Formeln (in meinem Skript, was
> > > der Prof provesorisch unter Zeitdruck zusammengestellt hat,
> > > finde ich eine Formel nicht, die dies erklärt)
> > >
> > > [mm]3*25^2*(a_0-a_1)+2*25(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> > >
> > > [mm]3*40^2*(a_0-a_1)+2*40(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> > >
> > > [mm]6*25^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
> > >
> > > [mm]6*40^2*(a_0-a_1)+2*(b_0-b1)+(c_0-c_1) = 0[/mm]
Diese Gleichungen müssten aus den Bedingungen folgen, die ich unten
angegeben habe. Ich würde mal noch vorschlagen, für die Zeit hier die
Variable t (anstatt x) zu verwenden.
Dann ist also
[mm] p_i(t)=a_i*t^3+b_i*t^2+c_i*t+d_i
[/mm]
Natürlich brauchen wir die erste und die zweite Ableitung, hier also die
Geschwindigkeits- und die Beschleunigungsfunktion:
[mm] p_i'(t)=3*a_i*t^2+2*b_i*t+c_i [/mm] (Geschwindigkeit)
[mm] p_i''(t)=............ [/mm] (Beschleunigung)
Nun sollen (wie unten beschrieben) an den beiden "Nahtstellen" t=25 und
t=40 die jeweils dort zusammentreffenden kubischen Funktionen keinen
Knick haben (also in der ersten Ableitung übereinstimmen) und sogar in
der zweiten Ableitung übereinstimmen.
Wie man aus diesen vier Bedingungen, also [mm] p_0'(25)=p_1'(25), [/mm] etc.
auf die obigen Gleichungen kommt, kannst du jetzt wohl leicht nachrechnen.
> Ich weiß, dass man auf einem intervall [mm][x_i,x_{i+1}][/mm] ein
> Polynom dritten Grades bestimmen versucht. Genau das
> bezeichnen wir dann auch mit [mm]p_i,[/mm] also quasi pro Intervall
> eine Funktion dritten Grades. Für jede Funktion dritten
> Grades brauchen wir vier Bedingungen, damit brauche wir i =
> 0,1,2
richtig ! das ist ja schon das Wesentliche
>
>
> > ist dir klar, welche Funktion genau hier durch
> > Spline-Funktionen approximiert werden soll ?
>
> Eine andere Funktion dritten Grades? Ich denke, es soll
> eine Funktion dritten Grades durch ein kubischen Spline
> approximiert werden.
nein, dies würde keinen Sinn machen. Wenn wir
durch einen kubischen Spline eine kubische Funktion
annähern würden, erhielten wir gar nichts neues als
eben diese kubische Funktion
was hier approximiert werden soll, ist die Weg-Zeit-Funktion s=s(t)
des Fahrzeugs, die wir ja gar nicht im einzelnen kennen -
wir haben davon nur einige Anhaltspunkte und können
über den eigentlichen Verlauf nur Mutmassungen anstellen,
eben zum Beispiel mit der Spline-Methode
> Und diese zu approximierende Funktion
> ergibt sich aus den Punkten, die in der Aufgabe gegeben
> sind, sprich zu welchem Zeitpunkt hat das Auto welche
> Strecke zurückgelegt.
und dazu die beiden Momentangeschwindigkeiten
am Anfang (t=0) und am Schluss (t=60)
>
> Beim Nachfolgenden Text kann ich dir leider nicht ganz
> folgen.
>
> > Der Spline besteht hier aus insgesamt 3 kubischen
> > Funktionen [mm]p_0, p_1, p_2.[/mm]
> > Jede davon ist "zuständig" für eines der 3 Teilintervalle.
das hast du oben auch selber formuliert...
> >
> > Woher ergeben sich nun die genau 12 Gleichungen für alle 12 Koeffizienten?
> >
> > 6 Gleichungen kommen aus den y-Koordinaten (eigentlich
> > s-Koord.) der 4 Fixpunkte der Kurve
>
> Welche Gleichungen wären das denn?
[mm] p_0(0)=0, \quad p_0(25)=350
[/mm]
[mm] p_1(25)=350, p_1(40)=750
[/mm]
[mm] p_2(40)=750, p_2(60)=1000
[/mm]
> Du schreibst das hier alles so selbstverständlich hin, wo
> das herkommt. Sogar anwendungsbezogen. Das ist leider mein
> Problem, gibts dafür nicht irgendwelche Fertigformeln? Weil
> ich kann die Gleichungen bei anderen Aufgaben dann
> vermutlich nicht aufstellen
Es lohnt sich schon, ein solches Beispiel einmal in allen Details
durchzuackern - und ich halte dieses dazu wirklich sehr geeignet.
Sogenannte Fertigformeln vergisst du sehr schnell wieder, wenn
dir das Prinzip dahinter rätselhaft bleibt.
>
> >
> > 2 kommen von den angegebenen fixen Geschwindigkeiten.
> >
> > 2 weitere kommen daher, dass an den inneren beiden
> > Fixpunkten
> > keine Knicke (abrupte Geschwindigkeitsänderungen !)
> sein
> > dürfen.
> >
> > Bleiben 2 weitere: man verlangt noch, dass an den inneren
> > beiden Fixpunkten auch die 2.Ableitungen
> (Beschleunigung)
> > keinen Sprung machen (also nicht abrupt Gas geben oder
> > bremsen!).
>
> Na gut, herausgefunden habe ich, dass
>
> > > [mm]c_0 = 18.06[/mm]
> > > [mm]c_2 = 13.89[/mm]
>
> entspricht dann [mm]p_0'(0)[/mm] und [mm]p_2'(60)[/mm] ergeben [mm]c_0[/mm] und [mm]c_2[/mm]
LG al-Chwarizmi
>
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Hallo,
nochmal zum Ziel der Spline-Interpolation:
Man will auf den durch die Stützstellen vorgegebenen Intervallen jeweils kubische Funktionen finden, die glatt aneinanderpassen und natürlich durch die Stützstellen gehen.
(Wenn Du deses Ziel verstanden hast, brauchst Du Dir keine Formeln für die Splineinterpolation zu merken, sie ergeben sich dann von selbst.)
Genauer:
Du hast n+1 Stützstellen $ [mm] (x_i, y_i), [/mm] $ i=0,...,n, die $ [mm] x_i [/mm] $ aufsteigend geordnet, welche Dir $ [mm] [x_0, x_n] [/mm] $ in n Teilintervalle $ [mm] I_0,...,I_{n-1} [/mm] $ einteilen.
Durch diese Stützstellen will man eine glatte, stückweise def. Funktion legen, die auf den Teilintervallen jeweils ein Polynom v. Grad 3 ist.
Nun wird also eine stückweise definierte Funktion gesucht mit folgenden Eigenschaften:
1. Auf jeden dieser Intervalle $ [mm] I_i [/mm] $ ist die Teilfunktion $ [mm] f_i [/mm] $ ein Polynom v. Grad 3, hat also die Gestalt [mm] f_i(x)=a_ix³+b_ix²+c_ix+d_i.
[/mm]
2. Die Teilfunktionen haben Anfangs- und Endpunkt in den Stützstellen, sie stoßen an den Intervallenden zusammen, es ist also $ [mm] f_{i-1}(x_i)= f_i(x_i)=y_i [/mm] $
3. Die Tangenten an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f'_{i-1}(x_i)= f'_i(x_i) [/mm] $
4. Die Krümmungen an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f''_{i-1}(x_i)= f''_i(x_i) [/mm] $
5. Randbedingungen: wenn nichts anderes vorgegeben ist, natürliche Rb, $ [mm] f''_1(x_0)=f''_n(x_n)=0. [/mm] $
Diese Bedingungen liefern Dir ein Gleichungssystem, welches zu lösen ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:01 So 20.07.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
hallo Angela,
danke für die systematische Zusammenfassung !
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