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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen für welche [mm] p\in\IR [/mm] gilt:
cos(x) = 1 + [mm] o(|x|^p) [/mm] für x->0.
Also heißt das doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)-1}{|x|^p} [/mm] soll 0 sein.
Zähler und Nenner laufen beide gegen 0 also gegen den Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Also habe ich Zähler und Nenner einmal abgeleitet.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sin(x)}{|p||x|^{p-1}}
[/mm]
Hier dasselbe. Also nochmal:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{-cos(x)}{|p(p-1)||x|^{p-2}}
[/mm]
Jetzt läuft der Zähler gegen -1 also ist hier erstmal Schluss.
Wenn ich aber jetzt x gegen 0 gehen lasse geht der Nenner immer gegen 0 für p > 2 also der Bruch gegen +- [mm] \infty. [/mm] Für p = 2 komme ich auf [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Demnach muss p < 2 sein, aber nicht 0 oder 1?
Bin mir hier ganz unsicher^^
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Potenzreihe von cos(x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 02.06.2011 | | Autor: | hilbert |
Mit der Potenzreihe komm ich auf folgendes:
cos(x) = 1 + [mm] o(|x|^p)
[/mm]
Also ist
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] = 1 + [mm] o(|x|^p)
[/mm]
Also
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] = [mm] o(|x|^p)
[/mm]
links steht also wenn ich das Vorzeichen jetzt mal ignoriere:
[mm] \bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!} [/mm] ...
Diese Funktionen sollen doch dann alle dividiert durch [mm] |x|^p [/mm] für x -> 0 gegen 0 gehen. Das heißt p muss auch hier < 2 sein.
Sorry, aber mit diesen Landausymbolen komm ich noch nicht so zurecht.
Ist das so besser? Oder immer noch falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Mit der Potenzreihe komm ich auf folgendes:
>
> cos(x) = 1 + [mm]o(|x|^p)[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm] = 1 +
> [mm]o(|x|^p)[/mm]
>
> Also
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm] =
> [mm]o(|x|^p)[/mm]
>
> links steht also wenn ich das Vorzeichen jetzt mal
> ignoriere:
> [mm]\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}[/mm] ...
>
> Diese Funktionen sollen doch dann alle dividiert durch
> [mm]|x|^p[/mm] für x -> 0 gegen 0 gehen. Das heißt p muss auch
> hier < 2 sein.
die Überlegungen sind richtig. ob p 0 oder 1 ist, spielt hierbei keine rolle, da die einzelnen summanden alle gegen 0 gehen, aber für p = 2 wird der erste term = 0.5, für höhere p gehen einzelne terme resp. gegen +/- Unendlich
> Sorry, aber mit diesen Landausymbolen komm ich noch nicht
> so zurecht.
> Ist das so besser? Oder immer noch falsch
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:04 Do 02.06.2011 | | Autor: | hilbert |
Das gleiche hatte ich doch auf dem ersten Weg auch raus.
Ist der Weg also falsch, aber das Ergebnis richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
hattest du beim ersten weg nicht raus, dass p weder 0 noch 1 sein darf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 04.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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