konvexe,diff.bare Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:28 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Zeige sie für eine konvexe, zweimal diff.bare Funktion f
(i)
[mm] \summe_{i,j=1}^{N} \xi_i*\xi_j*\bruch{\delta^2f(x)}{\delta x_i\delta x_j} \ge [/mm] 0, [mm] \forall \xi \in \IR^N, [/mm] x [mm] \in \IR^N
[/mm]
(ii)
[mm] \summe_{i=1}^{N}\alpha_i f(x_i)-f(\summe_{i=1}^{N}\alpha_i x_i) \ge \bruch{K}{2}*(\summe_{i=1}^{N}\alpha_i |x_i|^2-|\summe_{i=1}^{N}\alpha_i x_i|^2) [/mm] wobei
K = [mm] min\{\summe_{i,j=1}^{N} \xi_i*\xi_j*\bruch{\delta^2f(\summe_{i=1}^{N}\beta_i x_i)}{\delta x_i\delta x_j} | 0 \le \beta_i \le 1, \summe_{i=1}^{N}\beta_i = 1, \summe_{i=1}^{N}|\xi_i |^2 =1\} [/mm] ist. |
Hallo,
wie kann ich das denn bei (i) zeigen?
Also hab erstmal die Definition für konvex rausgesucht,
F: [mm] \IR^N \to \IR\cup\{\infty\} [/mm] konvex, gdw [mm] F(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha F(x)+(1-\alpha)F(y), \forall x,y\in\IR^N, \alpha\in[0,1].
[/mm]
Warum ist jetzt aber die Summe die ich zeigen soll von i und j abhängig? Und wie zeig ich nur mit der Definition das die Summe gilt?
Bin dankbar über jede Erklärung.
Gruß
Kayle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Sa 06.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige sie für eine konvexe, zweimal diff.bare Funktion f
>
> (i)
>
> [mm]\summe_{i,j=1}^{N} \xi_i*\xi_j*\bruch{\delta^2f(x)}{\delta x_i\delta x_j} \ge[/mm]
> 0, [mm]\forall \xi \in \IR^N,[/mm] x [mm]\in \IR^N[/mm]
Mangels Zeit nur ein kurzer Kommentar: dies bedeutet gerade, dass die Hessematrix von $f$ positiv semidefinit ist.
Zeige doch per Kontraposition: ist sie es nicht, so ist $f$ nicht konvex. (Wenn sie nicht positiv semidefinitiv ist, gibt es einen negativen Eigenwert (Hauptachsentrafo) und somit auch einen zugehoerigen Eigenvektor, und auf der dadurch durch $x$ definierten Gerade wird sich $f$ nicht konvex verhalten -- da kann man es genauso wie im Eindimensionalen zeigen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Moin felix,
danke, ich denke ich habs hinbekommen. Hast du vielleicht noch einen Hinweis für (ii) - wenn du die Zeit dafür findest?
Gruß
kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 09.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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