konvex => stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Sa 16.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] konvex. Zeigen Sei, dass f stetig ist. |
Ich krieg das einfach nicht gezeigt...
Stimmt es, dass f auf dem Intervall [a,b] Lipschitz-stetig ist? Und da a und b beliebig müsste f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig sein? Ich hab mir gedacht, dass man das vielleicht einfacher zeigen könnte...
Ich habe es schon mit den äquivalenten Definitionen
(1) Für x<y<z gilt:
[mm] f(y)\le \bruch{z-y}{z-x}*f(x)+\bruch{y-x}{z-x}*f(z)
[/mm]
und
(2) Für [mm] x\not=y [/mm] und [mm] \lambda \in(0,1) [/mm] gilt:
[mm] f(\lambda*x+(1-\lambda)*y)\le \lambda*f(x)+(1-\lambda)*f(y)
[/mm]
und dann gibts ja noch die Sache direkt mit der Sekantensteigung
(3) Für x<y<z gilt:
[mm] \bruch{f(y)-f(x)}{y-x}\le \bruch{f(z)-f(y)}{z-y}
[/mm]
Von welchem geh ich am besten aus? Und was zeige ich am besten? Ist es einfacher zu zeigen, dass f auf jedem abgeschlossenen Intervall gleichmäßig stetig ist? Und wäre damit überhaupt Stetigkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] gezeigt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvex. Zeigen Sei, dass f stetig ist.
> Ich krieg das einfach nicht gezeigt...
> Stimmt es, dass f auf dem Intervall [a,b] Lipschitz-stetig
> ist? Und da a und b beliebig müsste f auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig
> sein? Ich hab mir gedacht, dass man das vielleicht
> einfacher zeigen könnte...
> Ich habe es schon mit den äquivalenten Definitionen
> (1) Für x<y<z gilt:
> [mm]f(y)\le \bruch{z-y}{z-x}*f(x)+\bruch{y-x}{z-x}*f(z)[/mm]
> und
> (2) Für [mm]x\not=y[/mm] und [mm]\lambda \in(0,1)[/mm] gilt:
> [mm]f(\lambda*x+(1-\lambda)*y)\le \lambda*f(x)+(1-\lambda)*f(y)[/mm]
>
> und dann gibts ja noch die Sache direkt mit der
> Sekantensteigung
> (3) Für x<y<z gilt:
> [mm]\bruch{f(y)-f(x)}{y-x}\le \bruch{f(z)-f(y)}{z-y}[/mm]
>
> Von welchem geh ich am besten aus? Und was zeige ich am
> besten? Ist es einfacher zu zeigen, dass f auf jedem
> abgeschlossenen Intervall gleichmäßig stetig ist? Und
> wäre damit überhaupt Stetigkeit auf ganz [mm]\IR[/mm] gezeigt?
Ich würde von (2) ausgehen, und dann mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] weitermachen. Dabei x und y festhalten und [mm] $z=\lambda*x+(1-\lambda)*y$ [/mm] variieren. Was folgt dann aus $|z-x| < [mm] \delta [/mm] $ für $f(z)-f(x)$ ?
Viele Grüße
Rainer
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