konvergenz von folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 22.11.2010 | | Autor: | avre |
Aufgabe: Man untersuche die Folge an = [mm] \wurzel[n]{3^n+5^n+7^n} [/mm] auf Konvergenz und bestimme ihren Grenzwert.
Jetzt meine Frage, wie gehe ich an so eine aufgabe ran und woher weiß ich welches Konvergenzkriterium das beste dafür ist?
Danke schon mal für die Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo avre,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Klammere die höchste Potenz (also [mm] $7^n$ [/mm] ) aus und führe dann die Grenzwertbetrachtung durch.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo avre,
>
> !!
>
>
> Klammere die höchste Potenz (also [mm]7^n[/mm] ) aus
Hallo Loddar,
Dein Vorschlag reduziert das Problem aber nur auf
$ [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n+1} [/mm] $
mit 0<a,b<1
FRED
> und führe
> dann die Grenzwertbetrachtung durch.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Di 23.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu Fred,
die Abschätzung [mm] $\sqrt[n]{a^n + b^n + 1} \le \sqrt[n]{2}$ [/mm] für ausreichend grosse n sollte man mit ein bisschen Üben aber auch sehen..... ist aber letztlich ja auch nur das, was du machst.... nur vllt. ein bisschen Intuitiver.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe: Man untersuche die Folge an =
> [mm]\wurzel[n]{3^n+5^n+7^n}[/mm] auf Konvergenz und bestimme ihren
> Grenzwert.
>
> Jetzt meine Frage, wie gehe ich an so eine aufgabe ran und
> woher weiß ich welches Konvergenzkriterium das beste
> dafür ist?
$7= [mm] \wurzel[n]{7^n} \le a_n \le \wurzel[n]{3*7^n}= \wurzel[n]{3}*7$
[/mm]
FRED
>
> Danke schon mal für die Antworten
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 23.11.2010 | | Autor: | avre |
Kann ich denn so einfach die 5 weglassen und nur noch mit 3 und 7 arbeiten ?
Und mit welchem Kriterium zeig ich nun das es konvergent ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast offensichtlich nicht verstanden, wie die Ungleichungen
(*)$ 7= [mm] \wurzel[n]{7^n} \le a_n \le \wurzel[n]{3\cdot{}7^n}= \wurzel[n]{3}\cdot{}7 [/mm] $
zustande kommen
Es ist [mm] $7^n \le 3^n+5^n+7^n \le 7^n+7^n+7^n= 3*7^n$
[/mm]
Aus (*) folgt:
$7 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{3}\cdot{}7 [/mm] $
Was treibt die konstante Folge (7) für n gegen [mm] \infty [/mm] ?
Was treibt die Folge ( [mm] \wurzel[n]{3}\cdot{}7) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?
Was treibt dann die Folge ( [mm] a_n) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | avre |
Ok jetzt hab ich es verstanden. Der Grenzwert ist also 7.
Aber kann ich die Konvergenz der Folge dann einfach mit dem Einschließkriterium begründen oder muss ich da nicht auch noch was berechnen? Wie Monotonie...?
Vera
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 23.11.2010 | | Autor: | Damasus |
> Ok jetzt hab ich es verstanden. Der Grenzwert ist also 7.
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> Aber kann ich die Konvergenz der Folge dann einfach mit dem
> Einschließkriterium begründen oder muss ich da nicht auch
> noch was berechnen? Wie Monotonie...?
>
> Vera
Das reicht aus. Damit hast du gezeigt, dass die Folge konvergent ist und hast den Grenzwert bestimmt.
Mfg, Damasus
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