konvergenz der reihe 1/(n^2) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
wie kann ich die konvergenz der reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}1/(n^{2}) [/mm] mit n gegen unendlich mit hilfe des majoranten bzw des cauchykriteriums beweisen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Sergei,
eine Möglichkeit ist es sicher, mit dem Majorantenkriterium zunächst gegen die Reihe [mm] \summe\frac{1}{n(n-1)} [/mm] abschätzen, also [mm] \summe\frac{1}{n^2}\le\summe\frac{1}{n(n-1)} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2
Und dass [mm] \summe\frac{1}{n(n-1)} [/mm] konvergiert, kannst du relativ leicht über PBZ und den GW der Partialsummen beweisen (Stichwort:Teleskopsumme)
Sorry, dass es so lange gedauert hat, aber ich hatte ne automatische Trennung ;-(
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
was ist das PBZ ? ich mache eine Facharbeit in mathe daher kenne ihc nicht alle begriffe
danke für die antwort :)
|
|
|
| |
|
uuups ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
PBZ=Partiabruchzerlegung,
schreibe [mm] \frac{\green{1}}{n(n-1)}=\frac{\red{A}}{n}+\frac{\red{B}}{n-1}=\frac{A(n-1)+Bn}{n(n-1)}=\frac{\red{n(A+B)-A}}{n(n-1)}
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert also A+B=0 [mm] \wegde [/mm] -A=1
das bedeutet, du kannst [mm] \summe\frac{1}{n(n-1)} [/mm] schreiben als [mm] \summe-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}=\summe\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}
[/mm]
Nun betrachte die Partialsummen [mm] s_k=\summe_{n=2}^k\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm....+\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}
[/mm]
Da hebt sich fast alles weg (Teleskopsumme), und es bleibt:
[mm] s_k=1-\frac{1}{k}
[/mm]
Nun den Grenzübergang [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
[mm] s_k\rightarrow [/mm] 1 für [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
Damit haste sogar explizit den GW der Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1}
[/mm]
Diese ist also nach der ersten Abschätzung im obigen post eine konvergente Majorante zu [mm] \summe\frac{1}{n^2}
[/mm]
Du musst halt nur noch den Summanden für $n=1$ für die Reihe [mm] \summe\frac{1}{n^2} [/mm] wieder hinzunehmen, den mussten wir ja für [mm] \frac{1}{n(n-1)} [/mm] rausnehmen.Das spielt aber für die Konvergenz keine Rolle - da kannste endlich viele Summanden weglassen, es spielt lediglich für die Angabe des konkreten GW eine Rolle
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
