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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Mi 09.02.2005
Autor: beta83

Hi Leute,

Ich übe grade auf meine Matheprüfung und versuche eine Konvergenzaufgabe zu berechnen, bei der ich bis jetzt erfolgslos geblieben bin. Ich hab mehrere Kriterien angewandt die jedoch nicht zur lösung führten. habt ihr eine Idee?
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jmd. weiterhelfen könnte

genaue aufgabenstellung: Man untersucht folgende Reihe auf Konvergenz

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß beta
ich habe die Frage in kein anderes Forum gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
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konvergenz: Divergent?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mi 09.02.2005
Autor: Max

Kann es evtl. sein, dass die Reihe einfach divergiert? Hast du mal versucht das nachzuweisen?

Gruß Brackhaus
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Bezug
konvergenz: -
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mi 09.02.2005
Autor: Max

Fehler meinerseits, ich hatte nicht das hoch $n$ übersehen, sondern die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ;-) Irgendwie wollte ich wohl $e$ sehen *g*
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konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Mi 09.02.2005
Autor: Marcel

Hi Max!

Ich habe nun das $e$ sogar noch gefunden:
https://matheraum.de/read?i=43443 ;-)

Viele Grüße,
Marcel
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konvergenz: konvergent!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 09.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Beta83!

> Hi Leute,
>  
> Ich übe grade auf meine Matheprüfung und versuche eine
> Konvergenzaufgabe zu berechnen, bei der ich bis jetzt
> erfolgslos geblieben bin. Ich hab mehrere Kriterien
> angewandt die jedoch nicht zur lösung führten. habt ihr
> eine Idee?
>  Ich würde mich sehr freuen wenn mir jmd. weiterhelfen
> könnte
>  
> genaue aufgabenstellung: Man untersucht folgende Reihe auf
> Konvergenz
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  

Wendest du das []Wurzelkriterium auf deine Reihe:
[mm]\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
an, so folgt wegen:
[m]\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left|\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right|^n}=\limsup_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}<1[/m]
die Konvergenz deiner Reihe!

PS: Ich glaube, Max hat nur übersehen, dass da [mm]\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^{\red{n}}[/mm] steht. :-)

Viele Grüße,
Marcel
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konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Mi 09.02.2005
Autor: beta83

danke marcel für deinen vorschlag.
ich hab zuerst mit dem quotientenkriterium angefangen und nix rechtes rausbekommen. dan hab ich das wurzelkriterium angewandt und mich wahrscheinlich beim vereinfachen verrechnet.
danke für eure mühe.
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konvergenz: Rechng. Quotientenkriterium
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Mi 09.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Beta83!

> danke marcel für deinen vorschlag.
>  ich hab zuerst mit dem quotientenkriterium angefangen und
> nix rechtes rausbekommen. dan hab ich das wurzelkriterium
> angewandt und mich wahrscheinlich beim vereinfachen
> verrechnet.
>  danke für eure mühe.

Ich rechne auch gerne mal schnell das Quotientenkriterium für dich nach :-):
[mm]\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^{n}} =\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right)^{n}}{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^{n}}*\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right) =\left(\frac{\left(\frac{n+1+2}{2(n+1)}\right)}{\left(\frac{n+2}{2n}\right)}\right)^n*\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right) =\left(\frac{(n+2)+1}{n+2}*\frac{2(n+1)-2}{2(n+1)}\right)^n\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right)[/mm]  
[mm]=\underbrace{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^n}_{\longrightarrow e\;(n \to \infty)}*\underbrace{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n}_{\longrightarrow e^{-1}\;(n \to \infty)}*\underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right)}_{\to \frac{1}{2}\;(n \to \infty)} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e*e^{-1}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}<1[/mm].
Damit hätten wir dann die Konvergenz der Reihe (nochmal) über das Quotientenkriterium nachgerechnet :-).

Hierbei gilt z.B.:
[mm]\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e[/mm], da:
[mm]\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^n =\frac{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2} }{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{2}} =\frac{\underbrace{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}}_{\to e \;(n \to \infty)} }{\underbrace{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)}_{\to 1\;(n \to \infty)}*\underbrace{\left(1+\frac{1}{n+2}\right)}_{\to 1\;(n \to \infty)}}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e}{1*1}=e[/mm].

Das nun auch tatsächlich [mm]\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}e^{-1}[/mm] gilt, das kannst du dir ja mal selbst überlegen (notfalls frage nach :-)).
Einen Tipp dazu findest du innerhalb dieses Artikels: https://matheraum.de/read?i=30818&v=s
(Lese dir durch, was ich dort zu der Folge [mm] \left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}[/mm] sage!)

PS: Mal abgesehen davon, dass du nun auch die Rechnung zum Quotientenkriterium gesehen hast:
Max hatte Recht :-). Man kann in der Aufgabe sogar die eulersche Zahl $e$ sehen. Cool :-).

Viele Grüße,
Marcel
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konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Do 10.02.2005
Autor: beta83

ich danke euch beiden nochmals. Ich schau mir des mit der eulerschen Zahl nochmal an. Solche Sachen lerne ich auswendig und hinterfrage sie eigentlich nicht^^
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konvergenz: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 13:22 Do 10.02.2005
Autor: baddi

Irgendwo weiter unten habe ich glaube ich ein Fehler... kann mir bitte jemand sagen wo?
Danke.

Ich will mal noch eine andere Lösung bieten.
es scheint (fast offensichtlich, wil ich sagen), die geometrische Reieh zu sein.

$ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i^n [/mm] $
bei dir ist es
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}(1/2 [/mm] + [mm] 1/n)^n [/mm] $
die Konvergiert, wenn
$|1/2 + 1/n | < 1$
Naja das ist ja offensichtlich der Fall ab einem großen n.
Bei Konvergenzkriterien darf man ja immer endlich viele Glieder vernachlässigen (natürlich nicht beim kongreten Grenzwert).

$|1/2 + 1/n | < |1/2 + 1/2 | = 1$ für alle n > 2

Also konvergiert Sie.
Und zwar (stimmt doch oder ?!) gegen
$1/(1-a)$ bzw. $1/(1-(1/2 + 1/n))$
bzw. 2 oder ?

Irgendwo habe ich glaube ich ein Fehler... Aber wo ?
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konvergenz: Keine geometrische Reihe!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Do 10.02.2005
Autor: Loddar

Hallo baddi!

Bei dieser Aufgabe handelt es definitiv nicht um eine geometrische Reihe bzw. bei [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \right)^n$ [/mm] nicht um eine geometrische Folge.

Eine geometrische Folge ist derart definiert, daß zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder immer denselben Quotienten ergeben:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ q \ = \ const.$


Da unsere Folgenvariable $n$ aber sowohl im Exponenten als auch in der Basis auftritt, wird diese Eigenschaft der Quotientenkonstanz nicht eingehalten.

Demnach "hinkt" auch Deine Grenzwertberechnung.


Loddar

Bezug
                        
Bezug
konvergenz: Aaaaaber....
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Do 10.02.2005
Autor: baddi

Hallo Loddar :)

Vielen Dank, stimmt ich erinnere mich das die geometrische Folge so definiert war... aaaber gut...
hmm... da fällt mir ein prima Abschätzung ein... ich bin mal gespannt ob ihr damit einverstanden sind :)

[mm]a_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} \right)^n[/mm]
ist Majorante von
[mm]a_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \right)^n[/mm]
für (fast) alle n. Also bis auf endlich viele am Anfang.
So lässt sich dann doch mit der geometrschen Reihe mit weniger Rechenaufwand die Konvergenz nachweisen :)

Weil hier [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}$ [/mm] z.B. $< 0.9 $

Puh... :)) habe ich doch noch was hingekriegt ;)

Sebastian
Bezug
                                
Bezug
konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Do 10.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Sebastian!

> Hallo Loddar :)
>  
> Vielen Dank, stimmt ich erinnere mich das die geometrische
> Folge so definiert war... aaaber gut...
> hmm... da fällt mir ein prima Abschätzung ein... ich bin
> mal gespannt ob ihr damit einverstanden sind :)
>  
> [mm]a_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} \right)^n[/mm]
>
> ist Majorante von
> [mm]a_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \right)^n[/mm]
>
> für (fast) alle n. Also bis auf endlich viele am Anfang.
>  So lässt sich dann doch mit der geometrschen Reihe mit
> weniger Rechenaufwand die Konvergenz nachweisen :)

Ja (du hast das etwas ungenau ausgedrückt, aber ich verstehe, was du meinst: Du willst ausnutzen, dass [m]\sum_{n=3}^\infty\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^n\le\sum_{n=3}^\infty\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^n[/m] und dann das Majorantenkriterium zuhilfe nehmen).
Das geht auch :-).
Allerdings geht es meines Erachtens nach am schnellsten mit dem Wurzelkriterium, siehe hier.
Und wenn du dich nochmal an die Beweise zum Quotienten- bzw. Wurzelkriterium erinnerst, erkennst du hoffentlich auch den Zusammenhang zur geometrischen Reihe ;-). Von daher ist es auch nicht besonders verwunderlich, dass du so eine Abschätzung angeben kannst ;-).  

> Weil hier [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] z.B. [mm]< 0.9[/mm]

Hui, das ist verwirrend [verwirrt] ;-), weil du oben zwei verschiedene Folgen mit [mm] $(a_n)$ [/mm] bezeichnest ;-). Am besten machen wir es mal so:
[mm]a_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{n} \right)^n[/mm]
[mm]b_n \ = \ \left( \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} \right)^n[/mm]

Und was du nun meinst, ist:
[mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}=\frac{5}{6}=\frac{\frac{25}{3}}{10}<\frac{9}{10}<1[/mm]  
und daher konvergiert [m]\sum_{n=3}^\infty\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^n=\sum_{n=3}^\infty\left(\frac{5}{6}\right)^n[/m] nach dem Quotientenkriterium. Das ist auch richtig, aber:
Die Berechnung von [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ [/mm] ist aber gar nicht nötig, da ja:
[m]\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{5}{6}\right)^n[/m] eine []geometrische Reihe ist, die wegen [mm] $\frac{5}{6}<1$ [/mm] konvergiert.

> Puh... :)) habe ich doch noch was hingekriegt ;)

:-)
  
Viele Grüße,
Marcel
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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