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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=2}^{oo} \bruch{k+cos(k)}{k^2-1} [/mm] |
bin mal alle kriterien durchgegangen (wurzel, leibniz, majoranten, potenzreihe,..) aber das Quotientenkriterium sieht am passensten aus, aber ich komme nicht vom fleck...
[mm] |\bruch{k+1+cos(k+1)}{(k+1)^2-1}*\bruch{k^2-1}{k+cosk}|
[/mm]
kürzen kann man hier nicht....
__________
dann habe ich mir folgedes gedacht.... ( das quotientenkriterium würde ich dann erstmal nicht anwenden)
nun bewegt sich (cos k) zw -1 und 1 und dann stünde da oben auf dem Zähler k+1 bzw k-1 und dann könnte man ja kürzen.... aber darf man das überhaupt? (cos k) könnte ja auch 0,5 oder so sein
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> [mm]\summe_{k=2}^{oo} \bruch{k+cos(k)}{k^2-1}[/mm]
> bin mal alle
> kriterien durchgegangen (wurzel, leibniz, majoranten,
> potenzreihe,..)
> dann habe ich mir folgedes gedacht....
> nun bewegt sich (cos k) zw -1 und 1 und dann stünde da
> oben auf dem Zähler k+1 bzw k-1 und dann könnte man ja
> kürzen.... aber darf man das überhaupt? (cos k) könnte ja
> auch 0,5 oder so sein
Hallo,
der Gedanke mit dem cos zwischen -1 und +1 ist gut.
Für k>1 hast Du
| [mm] \bruch{k+cos(k)}{k^2-1}|=\bruch{k+cos(k)}{k^2-1}\ge \bruch{k-1}{k^2-1}=\bruch{1}{k+1}.
[/mm]
Nun denk mal in Richtung Minorantenkriterium.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> der Gedanke mit dem cos zwischen -1 und +1 ist gut.
>
> Für k>1 hast Du
du meintest bestimmt k>2 ;)
>
> | [mm]\bruch{k+cos(k)}{k2-1}|=\bruch{k+cos(k)}{k^2-1}\ge \bruch{k-1}{k^2-1}=\bruch{1}{k+1}.[/mm]
>
die betragsstriche hätte man nicht setzen müssen oder? hast du bestimmt nur zur verdeutlichung gesetzt, oder?
> Nun denk mal in Richtung Minorantenkriterium.
>
oh stimmt, dass mit dem [mm] \ge [/mm] ist echt clever!!!
oh... ich hab mich zurühgefreut... :(
[mm] \bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k} [/mm] RECHTS steht die harmonische reihe, welche divergent ist..... also kann ich nicht sagen, ob die Reihe [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] divergiert
eine andere passende reihe fällt mir gerade nicht ein...
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> > der Gedanke mit dem cos zwischen -1 und +1 ist gut.
> >
> > Für k>1 hast Du
>
> du meintest bestimmt k>2 ;)
Nö.
Gilt's für k>1 oder nicht? (ob 1 oder 2 oder 237 ist aber auch nicht so wichtig)
> die betragsstriche hätte man nicht setzen müssen oder? hast
> du bestimmt nur zur verdeutlichung gesetzt, oder?
Ja. Nicht daß einer sagt: müssen da nicht Betragsstriche hin?
Ich hab' sie dann ja weggelassen.
> oh... ich hab mich zurühgefreut... :(
Nein.
Wir wissen jetzt:
$ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} |\bruch{k+cos(k)}{k^2-1}| [/mm] $ [mm] \ge \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k+1}=\summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k}, [/mm] und diese Reihe divergiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> >
> > > der Gedanke mit dem cos zwischen -1 und +1 ist gut.
> > >
> > > Für k>1 hast Du
> >
> > du meintest bestimmt k>2 ;)
>
> Nö.
hab gedacht da steht [mm] k\ge [/mm] 1 und nicht k>1... du hattest also recht!!!! :D
>
> Gilt's für k>1 oder nicht? (ob 1 oder 2 oder 237 ist aber
> auch nicht so wichtig)
>
>
> > die betragsstriche hätte man nicht setzen müssen oder? hast
> > du bestimmt nur zur verdeutlichung gesetzt, oder?
>
> Ja. Nicht daß einer sagt: müssen da nicht Betragsstriche
> hin?
> Ich hab' sie dann ja weggelassen.
>
>
> > oh... ich hab mich zurühgefreut... :(
>
> Nein.
>
> Wir wissen jetzt:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} |\bruch{k+cos(k)}{k^2-1}|[/mm] [mm]\ge \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k+1}=\summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k},[/mm]
> und diese Reihe divergiert.
ja , du hast wieder recht!!!! :D:D
danke noch mal!!!! :D:D:D
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