konstruktion isomorph. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 28.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Sei [mm] V=\IR^4, U=\subset [/mm] V. Konstruieren sie einen Isomorphismus [mm] V/U\cong\IR^2 [/mm] und berrechnen sie eine darstellende Matrix bzgl. geeigneter Basen |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute,
ich bekomme den iso irgendwie nicht hin.
ich muss ja für f(v+U) irgendwie ein bild erfinden, aber irgendwie fallen mir nur injektive abbildungen f ein. hat da jemand vielleicht einen kleinen tip für mich :)
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Sei [mm]V=\IR^4, U=\subset[/mm] V. Konstruieren sie
> einen Isomorphismus [mm]V/U\cong\IR^2[/mm] und berrechnen sie eine
> darstellende Matrix bzgl. geeigneter Basen
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute,
> ich bekomme den iso irgendwie nicht hin.
>
> ich muss ja für f(v+U) irgendwie ein bild erfinden, aber
> irgendwie fallen mir nur injektive abbildungen f ein. hat
> da jemand vielleicht einen kleinen tip für mich :)
>
> gruß ari
Also die Idee ist schon nicht schlecht. Was wir erstmal brauchen ist eine Basis für V. 2 Basisvektoren dafür kriegen wir von U schon geschenkt und dann wählen wir dazu noch zwei linear unabhängige Vektoren, z.B.
[mm] $B_V [/mm] = < [mm] e_1, e_4, e_1 [/mm] + [mm] e_2, e_2 [/mm] + [mm] e_3>$
[/mm]
Vergewissere dich bitte, dass das eine Basis ist. Dann hat in V/U jedes Element v eine Darstellung
$v = [mm] \lambda_1 e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 e_4 [/mm] + [mm] \IR (e_1 [/mm] + [mm] e_2) [/mm] + [mm] \IR (e_2 [/mm] + [mm] e_3) =\lambda_1 e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 e_4 [/mm] +U $
wobei [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] sind.
Dann ist der Isomorphismus einfach anzugeben:
[mm] $\phi [/mm] : V/U [mm] \to \IR^2$
[/mm]
[mm] $\phi [/mm] (v) = [mm] \phi( \lambda_1 e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 e_4 [/mm] +U) = [mm] (\lambda_1 [/mm] , [mm] \lambda_2)$
[/mm]
Das ist natürlich nur ein Isomorphismus von dutzenden. Bleibt für dich noch die Aufgabe mit der darstellenden Matrix.
Gruß Micha 
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