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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung von Ax=b mit Hilfe des CG-Verfahrens. Dabei sei
[mm] A=\pmat{ 100 & -8 & 0 \\ -8 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] b= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Der Startwert sei [mm] x_{0}=0.
[/mm]
(CG steht für Konjugiertes Gradientenverfahren) |
Hallo!
Ich bin etwas verwirrt:
1. "die Lösung" soll gefunden werden, also nicht eine Näherung? Ich habe irgendwo gehört, dass beim CG-Verfahren die exakte Lösung nach n Schritten gefunden wird. Wobei n die Anzahl der Variablen ist. Stimmt das? Dann wäre hier [mm] x_{3} [/mm] die Lösung?!
2. Ich komme nicht ganz klar mit dem Skalarprodukt in diesem Zusammenhang: Normaler Weise war ja mit [mm] v=\vektor{a \\ b} [/mm] und w= [mm] \vektor{c \\ d}: [/mm] (v,w)=a*c + b*d, oder?
Aber hier soll das Skalarprodukt irgendwie anders, "nach A", sein...
also bei (v,w) muss man erst w'=A*w rechnen und dann das normale Skalarprodukt (v,w')?
Aber gilt das auch wenn das Skalarprodukt so aussieht: (v,Av)? Also v'=AAv und dann mit dem normalen Skalarprodukt (v,v')?
Wär toll, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte! 
Grüßle, Lily
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> Bestimmen Sie die Lösung von Ax=b mit Hilfe des
> CG-Verfahrens. Dabei sei
> [mm]A=\pmat{ 100 & -8 & 0 \\
-8 & 9 & 0 \\
0 & 0 & 1 },[/mm] b=
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}.[/mm]
> Der Startwert sei [mm]x_{0}=0.[/mm]
>
> (CG steht für Konjugiertes Gradientenverfahren)
> Hallo!
> Ich bin etwas verwirrt:
>
> 1. "die Lösung" soll gefunden werden, also nicht eine
> Näherung? Ich habe irgendwo gehört, dass beim
> CG-Verfahren die exakte Lösung nach n Schritten gefunden
> wird. Wobei n die Anzahl der Variablen ist. Stimmt das?
> Dann wäre hier [mm]x_{3}[/mm] die Lösung?!
Ja das stimmt.
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> 2. Ich komme nicht ganz klar mit dem Skalarprodukt in
> diesem Zusammenhang: Normaler Weise war ja mit [mm]v=\vektor{a \\
b}[/mm]
> und w= [mm]\vektor{c \\
d}:[/mm] (v,w)=a*c + b*d, oder?
Das ist das Standardskalarprodukt. Hier geht es aber um die Konjugation zweier Vektoren:
$u,v$ heißen unter A konjugiert zueinanderen, falls gilt [mm] $\langle [/mm] u,v [mm] \rangle_A:=u^TAv=0$
[/mm]
hierbei ist es jedoch nicht mehr das Standardskalarprodukt.
[mm]\langle u,v \rangle_A := \langle A u, v\rangle = \langle u, A^T v\rangle = u^T A v[/mm]
> Aber hier soll das Skalarprodukt irgendwie anders, "nach
> A", sein...
> also bei (v,w) muss man erst w'=A*w rechnen und dann das
> normale Skalarprodukt (v,w')?
> Aber gilt das auch wenn das Skalarprodukt so aussieht:
> (v,Av)? Also v'=AAv und dann mit dem normalen Skalarprodukt
> (v,v')?
>
> Wär toll, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte!
> Grüßle, Lily
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