komplexes Skalarprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 16.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
[mm] q(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{w_1\\w_2}) [/mm] := [mm] z_1\overline{w_1} [/mm] - [mm] iz_1\overline{w_2} [/mm] + [mm] iz_2\overline{w_1} [/mm] + [mm] 2z_2\overline{w_2}
[/mm]
ist Skalarprodukt auf [mm] \IC^2. [/mm] |
Hallo Liebes Forum,
Ich soll zeigen, dass q ein komplexes Skalarprodukt ist.
Eigentlich hab ich es auch schon fast fertig.
Mir fehlt aber noch die positive Definitheit, aber bei der komm ich nicht weiter:
Man muss ja zeigen, dass [mm] \forall x\in \IC [/mm] , [mm] x\not=0 [/mm] q(x,x) > 0 ist.
Nun ist ja
[mm] q(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{z_1 \\ z_2}) [/mm] =
= [mm] x_1\overline{x_1} [/mm] - [mm] ix_1\overline{x_2} [/mm] + [mm] ix_2\overline{x_1} [/mm] + [mm] 2x_2\overline{x_2} [/mm] =
= [mm] |x_1|^2 [/mm] + [mm] 2|x_2|^2 [/mm] - [mm] ix_1\overline{x_2} [/mm] + [mm] ix_2\overline{x_1} [/mm] =
= ?
und hier weiß ich nun nicht weiter.
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen oder widerlegen Sie:
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> [mm]q(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{w_1\\w_2})[/mm] :=
> [mm]z_1\overline{w_1}[/mm] - [mm]iz_1\overline{w_2}[/mm] + [mm]iz_2\overline{w_1}[/mm]
> + [mm]2z_2\overline{w_2}[/mm]
>
> ist Skalarprodukt auf [mm]\IC^2.[/mm]
> Hallo Liebes Forum,
>
> Ich soll zeigen, dass q ein komplexes Skalarprodukt ist.
> Eigentlich hab ich es auch schon fast fertig.
>
> Mir fehlt aber noch die positive Definitheit, aber bei der
> komm ich nicht weiter:
>
> Man muss ja zeigen, dass [mm]\forall x\in \IC[/mm] , [mm]x\not=0[/mm] q(x,x)
> > 0 ist.
>
> Nun ist ja
>
> [mm][mm] q(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{z_1 \\ z_2}) [/mm] =
= [mm] x_1\overline{x_1} [/mm] - [mm] ix_1\overline{x_2}+ ix_2\overline{x_1} [/mm] + [mm] 2x_2\overline{x_2}
[/mm]
> = [mm]|x_1|^2 + 2|x_2|^2 - ix_1\overline{x_2} + ix_2\overline{x_1}[/mm]
>
> = ?
>
> und hier weiß ich nun nicht weiter.
Vielleicht kannst Du mir bei Gelegenheit einmal erklären, weshalb Du mit [mm] $z_1,z_2$ [/mm] beginnst, und dann plötzlich [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] schreibst.
Also mit [mm] $z_{1,2}$ [/mm] geschrieben lautet Deine letzte Zeile vor dem Blackout so
[mm]\begin{array}{rcl}
|z_1|^2-\mathrm{i} z_1\overline{z}_2+\mathrm{i}\overline{z}_1 z_2+2|z_2|^2 &=& |z_1|^2 -\mathrm{i}\big(z_1\overline{z}_2-\overline{z_1\overline{z}_2}\big)+2|z_2|^2\\
&=& |z_1|^2-\mathrm{i}\cdot 2\mathrm{i}\cdot \mathrm{Im}(z_1\overline{z}_2)+2|z_2|^2\\
&=& |z_1|^2+2\mathrm{Im}(z_1\overline{z}_2)+2|z_2|^2\\
&\geq & |z_1|^2-2|z_1|\cdot|z_2|+2|z_2|^2\\
&=& \big(|z_1|-|z_2]\big)^2+|z_2|^2\\
&>& 0
\end{array}[/mm]
Verbleibende Frage: Warum gilt denn hier das letzte Ungleichheitszeichen ($>0$), sofern [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] nicht beide $0$ sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 So 16.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
Also
1. Tut mir leid, dass ich zwischen z und x gewechselt hab. Auf dem Aufgabenzettel steht z, aber auf meinem Schmierzettel hab ich es mit x gemacht.
Verbleibende Frage: Warum gilt denn hier das letzte Ungleichheitszeichen ([mm]>0[/mm]), sofern [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2
[/mm] nicht beide [mm]0[/mm] sind?
2. Ist es nicht so, dass die letzte Ungleichung gilt, weil [mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] eine reelle Zahl ist, welche zum Quadrat immer > 0, sofern sie nicht selbst 0 ist
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 So 16.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> Also
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> 1. Tut mir leid, dass ich zwischen z und x gewechselt hab.
> Auf dem Aufgabenzettel steht z, aber auf meinem
> Schmierzettel hab ich es mit x gemacht.
>
> Verbleibende Frage: Warum gilt denn hier das letzte
> Ungleichheitszeichen ([mm]>0[/mm]), sofern [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]
> [mm][/mm] nicht beide [mm]0[/mm] sind?
>
> 2. Ist es nicht so, dass die letzte Ungleichung gilt, weil
> [mm]|z|=\wurzel{a^2+b^2}[/mm] eine reelle Zahl ist, welche zum
> Quadrat immer > 0, sofern sie nicht selbst 0 ist
Ich verstehe nicht, in welcher Beziehung diese Überlegung zur noch zu beweisenden Ungleichung
[mm]\big(|z_1|-|z_2]\big)^2+|z_2|^2 > 0[/mm]
stehen soll.
Überlege doch einfach so. Falls [mm] $z_2\neq [/mm] 0$ ist, so gilt die Ungleichung, denn der Summand [mm] $|z_2|^2$ [/mm] ist dannn $>0$ und der Summand [mm] $\big(|z_1|-|z_2]\big)^2$ [/mm] ist in jedem Falle [mm] $\geq [/mm] 0$.
Ist aber [mm] $z_2=0$, [/mm] so muss (gemäss Voraussetzung, dass [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] nicht beide gleichzeitig $0$ sein dürfen) [mm] $z_1\neq [/mm] 0$ sein. Dann lauter die linke Seite der obigen Ungleichung aber [mm] $(|z_1|-0)^2+0^2$ [/mm] ist also gleich [mm] $|z_1|^2$ [/mm] und daher $>0$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 16.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
Irgendwie ist heut nicht mein Tag und ich bin ein wenig deprimiert.
Hab´s jetzt verstanden und nachvollziehen können, aber
da hätt man eigentlich selbst drauf kommen müssen. Ich glaub ich brauch Ferien.....
Trotzdem vielen Dank für deine verständliche und schnelle Hilfe.
LG
ossi83
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