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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Leucram |
| Aufgabe | gegeben ist: z=1+i* [mm] \wurzel{3}
[/mm]
aufgabe 1.) : finde z^12
aufgabe 2.) : alle [mm] z^n [/mm] ( n [mm] \varepsilon \IZ [/mm] ) angeben für die [mm] z^n [/mm] reel ist |
zu 1.)
korrekter lösungsversuch?
-ich würde mit e-ansatz beginnen
[mm] z=a+bi=r*e^{i*\delta} [/mm] = [mm] r*(cos(\delta) [/mm] + i [mm] sin(\delta))
[/mm]
[mm] a=r*cos(\delta)
[/mm]
[mm] b=r*sin(\delta)
[/mm]
[mm] \delta [/mm] = arctan( [mm] \wurzel{3} [/mm] / 1 ) = [mm] \pi [/mm] / 3
-aus pythagoras r= [mm] \wurzel{a²+b²} [/mm] = 2
--> [mm] z=2*e^{i*\delta}
[/mm]
--> [mm] z=2*e^{i*\pi / 3}
[/mm]
--> [mm] z^{12}=(2*e^{i*(\pi / 3)})^{12}
[/mm]
da würd ich aufhören weiter zu vereinfachen
zu 2.) da weis ich nicht, wie das gemeint ist vielleicht kann mir da einer helfen ;)
viele grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 02.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu a)
Ich würde noch nicht aufhören, sondern wie folgt weiter rechnen
[mm] z^{12}=2^{12}*e^{i4\pi}=4096 [/mm] weil [mm] cos(4\pi)=1 [/mm] und [mm] sin(4\pi)=0 [/mm] gilt.
zu b)
Du hast ja schon z berechnet
[mm] z=2*e^{3i\pi} [/mm] also ist
[mm] z^n=2^n*e^{i3n\pi}=2^n(cos(3n\pi)+i*sin(3n\pi))
[/mm]
[mm] z^n [/mm] ist reell, wenn [mm] sin(3n\pi)=0 [/mm] gilt.
Dis Sinusfunktion ist aber immer Null bei ganzzahligem Vielfachen von [mm] \pi
[/mm]
mfg ullim
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