komplexe Zahlen sin, cos < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \cos(z) [/mm] := [mm] \frac{1}{2}(e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz})
[/mm]
[mm] \sin(z) [/mm] := [mm] \frac{1}{2i}(e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})
[/mm]
b) Ist w [mm] \in \IC, [/mm] so gibt es ein x [mm] \in \IC [/mm] mit x != 0 und [mm] \frac{1}{2} [/mm] * ( x + [mm] \frac{1}{x}) [/mm] = w
c) Ist w [mm] \in \IC, [/mm] so gibt es ein z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] \cos(z) [/mm] = w |
Nabend.
Teilaufgabe b) habe ich gelöst. Nun hänge ich bei Aufgabe c) fest.
Mein Ziel ist es die Gleichung nach z aufzulösen.
[mm] \cos(z) [/mm] = w
[mm] \gdw \frac{1}{2}(e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz}) [/mm] = w
[mm] \gdw (e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz}) [/mm] = 2w
[mm] \gdw \log(e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz}) [/mm] = [mm] \log(2w)
[/mm]
Nun hänge ich hier fest und brauche Hilfe. Wie bekomme ich das z aus dem Exponenten raus? ;)
Aufgabe b) poste ich, weil ich der Meinung bin, dass Teilaufgabe c) unabhängig von b) ist. Oder irre ich mich da?
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Hallo Soinapret,
> [mm]\cos(z)[/mm] := [mm]\frac{1}{2}(e^{iz}[/mm] + [mm]e^{-iz})[/mm]
> [mm]\sin(z)[/mm] := [mm]\frac{1}{2i}(e^{iz}[/mm] - [mm]e^{-iz})[/mm]
> b) Ist w [mm]\in \IC,[/mm] so gibt es ein x [mm]\in \IC[/mm] mit x != 0 und
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] * ( x + [mm]\frac{1}{x})[/mm] = w
> c) Ist w [mm]\in \IC,[/mm] so gibt es ein z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]\cos(z)[/mm] =
> w
> Nabend.
>
> Teilaufgabe b) habe ich gelöst. Nun hänge ich bei Aufgabe
> c) fest.
>
> Mein Ziel ist es die Gleichung nach z aufzulösen.
> [mm]\cos(z)[/mm] = w
> [mm]\gdw \frac{1}{2}(e^{iz}[/mm] + [mm]e^{-iz})[/mm] = w
> [mm]\gdw (e^{iz}[/mm] + [mm]e^{-iz})[/mm] = 2w
> [mm]\gdw \log(e^{iz}[/mm] + [mm]e^{-iz})[/mm] = [mm]\log(2w)[/mm]
>
> Nun hänge ich hier fest und brauche Hilfe. Wie bekomme ich
> das z aus dem Exponenten raus? ;)
Wenn ich deine Ausgangsgleichung so schreibe:
$w = [mm] \cos(z) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(e^{i*z} + e^{-i*z}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(e^{i*z} + \frac{1}{e^{i*z}}\right)$,
[/mm]
fällt dir dann in Verbindung mit b) nicht etwas auf? Das ist übrigens auch gleich die Antwort auf die Frage, wie man die Umkehrfunktion bilden würde.
Grüße,
Stefan
PS.: Nur falls es gar nicht klingeln will: Setze x = [mm] e^{i*z}.
[/mm]
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Hallo steppenhahn,
danke dir erstmal.
Auf die Idee mit [mm] e^{-iz} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{iz}} [/mm] bin ich eben leider nicht gekommen :)
Bei Aufgabe b) habe ich heraus: x = [mm] \wurzel{w^2 - 1} [/mm] + w
Daraus ergibt sich dann bei c:
[mm] \frac{1}{2}(e^{iz} [/mm] + [mm] \frac{1}{e^{iz}}) [/mm] = w
Setze x = [mm] e^{iz}
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{iz} [/mm] = [mm] \wurzel{w^2 - 1} [/mm] + w
[mm] \gdw \log(e^{iz}) [/mm] = [mm] \log(\wurzel{w^2 - 1} [/mm] + w)
[mm] \gdw [/mm] i * z = [mm] \log(\wurzel{w^2 - 1} [/mm] + w)
[mm] \gdw [/mm] z = [mm] \frac{\log(\wurzel{w^2 - 1} + w)}{i}
[/mm]
Ist das richtig? Kommt mir so komisch vor ;)
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Hallo Soinapret,
> Hallo steppenhahn,
> danke dir erstmal.
> Auf die Idee mit [mm]e^{-iz}[/mm] = [mm]\frac{1}{e^{iz}}[/mm] bin ich eben
> leider nicht gekommen :)
>
> Bei Aufgabe b) habe ich heraus: x = [mm]\wurzel{w^2 - 1}[/mm] + w
Das ist nur eine Lösung.
Die zweite Lösung ergibt sich zu:[mm]x_{2}=w\blue{-}\wurzel{w^2 - 1}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann bei c:
> [mm]\frac{1}{2}(e^{iz}[/mm] + [mm]\frac{1}{e^{iz}})[/mm] = w
> Setze x = [mm]e^{iz}[/mm]
> [mm]\Rightarrow e^{iz}[/mm] = [mm]\wurzel{w^2 - 1}[/mm] + w
> [mm]\gdw \log(e^{iz})[/mm] = [mm]\log(\wurzel{w^2 - 1}[/mm] + w)
> [mm]\gdw[/mm] i * z = [mm]\log(\wurzel{w^2 - 1}[/mm] + w)
> [mm]\gdw[/mm] z = [mm]\frac{\log(\wurzel{w^2 - 1} + w)}{i}[/mm]
>
> Ist das richtig? Kommt mir so komisch vor ;)
Die Lösung stimmt auch hier. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gibt analog zu b) noch eine zweite Lösung:
[mm]z_{2}=\frac{\log(w\blue{-}\wurzel{w^2 - 1})}{i}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Soinapret |
Vielen Dank euch
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