komplexe Zahlen Darstellung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Folgende komplexe Zahlen sollen in der Form a+ib [mm] (a,b\in \IR) [/mm] angegeben werden:
a) [mm] z_1= \bruch{3+2i}{2-i}
[/mm]
b) [mm] z_2= \bruch{1}{i+{\bruch{1}{1+i}}}+\bruch{1}{i-{\bruch{1}{1-i}}}
[/mm]
Hierzu soll ich auch noch |z|, Re(z), Im(z), [mm] Re(\bruch{1}{z}), Im(\bruch{1}{z})
[/mm]
|
Ich weiß bisher nur, dass diese Form a+ib auch karthesische oder algebraische Form genannt wird. Aber wie kann man die Umformen?
Könnt ihr mir das bitte an einem ähnlichen Beispiel erklären? vielleicht kann ich das daran dann nachvollziehen und anwenden.
Grüße,
mathegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Erweitere den Bruch jeweils mit dem Komplex-Konjuguierten des Nenners.
Das bedeutet für Deine 1. Aufgabe: erweitere mit $2 \ [mm] \red{+} [/mm] \ i$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Ja, mit der Erweiterung kann ich dann Imaginärteil und Realteil bestimmen. Erweitert habe ich ja schon. Aber ich komme nicht auf die Form a+ib. Das ist hierbei mein Problem!
Danke
und Grüße, Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
So lange Du hier nichts konkret postest und vorrechnest, können wir Dir auch nicht sagen, wo es klemmt bzw. wie es weitergeht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{3+2i}{2-i}*\bruch{(3+2i)*(2+i)}{2+i}
[/mm]
= [mm] \bruch{3+2i}{2-i}*\bruch{(3+2i)*(6+7i+3i^2)}{2+i}
[/mm]
oder liegt dabei schon der Fehler? ich muss glaub ich nur den Bruch an sich erweitern,und nicht so wie ich es hier gemacht habe. ich hab den fehler jetzt glaub ich gemerkt..
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> [mm]\bruch{3+2i}{2-i}*\bruch{(3+2i)*(2+i)}{2+i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
???
Was machst du denn da?
Du hast den Bruch $\frac{3+2i}{2-i}$
Den erweitere mit $2\red{+}i}$
Das gibt doch $...=\frac{(3+2i)\cdot{}\red{(2+i)}}{(2-i)\cdot{}\red{(2+i)}}$
Nun bedenke, dass $z\cdot{}\overline{z}=|z|^2$ ist und du bekommst einen reellen Nenner.
Im Zähler nur noch ausmultiplizieren, dann kannst du schlussendlich in Real- und Imaginärteil aufteilen ..
> = [mm]\bruch{3+2i}{2-i}*\bruch{(3+2i)*(6+7i+3i^2)}{2+i}[/mm]
>
> oder liegt dabei schon der Fehler? ich muss glaub ich nur
> den Bruch an sich erweitern
Ja natürlich musst du erweitern, das steht ja lang und breit in der (n) anderen Antwort (en)
> ,und nicht so wie ich es hier
> gemacht habe. ich hab den fehler jetzt glaub ich gemerkt..
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
also ist dann [mm] z_1= \bruch{36+7i+3i^2}{4-i^2}
[/mm]
Re(z)= [mm] \bruch{6}{(4-i^2)}
[/mm]
[mm] Im(z)=\bruch{7i+3i^2}{4-i^2}
[/mm]
und wenn ich [mm] Re(\bruch{1}{z}bestimmen [/mm] soll mache ich die gleiche Erweiterung wie eben schon, nur mit [mm] z_1= \bruch{1}{z}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> also ist dann [mm]z_1= \bruch{36+7i+3i^2}{4-i^2}[/mm]
Was ist da im Zähler los?
Und überhaupt bedenke, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] ist.
Damit steht im Nenner $5$
Für den Zähler erhalte ich nach Ausmultiplizieren [mm] $6+3i+4i+2i^2=6-2+7i=4+7i$
[/mm]
>
> Re(z)= [mm]\bruch{6}{(4-i^2)}[/mm]
> [mm]Im(z)=\bruch{7i+3i^2}{4-i^2}[/mm]
Das kann schon gar nicht sein, weil Real- und Imaginärteil reelle Zahlen sind: Mit $z=x+iy$ ist [mm] $Re(z)=x\in\IR$ [/mm] und [mm] $Im(z)=y\in\IR$, [/mm] bei dir ist $Im(z)$ eine komplexe Zahl ...
>
> und wenn ich [mm]Re(\bruch{1}{z}bestimmen[/mm] soll mache ich die
> gleiche Erweiterung wie eben schon, nur mit [mm]z_1= \bruch{1}{z}?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo!
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank!
Aber eine dumme Frage habe ich noch...wieso ist [mm] i^2=-1?? [/mm] woher weiß ich das??
und wie kann man [mm] \overline{z} [/mm] bestimmen bzw was bedeutet das? für jedes z oder f mit diesem Strich drüber verwendet unser dozent andere bezeichnungen.
Grüße
mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Vielen Dank!
> Aber eine dumme Frage habe ich noch...wieso ist [mm]i^2=-1??[/mm]
> woher weiß ich das??
Das ist die imaginäre Einheit.
![[]](/images/popup.gif) Komplexe Zahlen
>
> und wie kann man [mm]\overline{z}[/mm] bestimmen bzw was bedeutet
> das? für jedes z oder f mit diesem Strich drüber
> verwendet unser dozent andere bezeichnungen.
>
$\ [mm] \overline{z} [/mm] $ ist die zu $\ z $ komplex konjugierte Zahl.
>
> Grüße
> mathegirl
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
Ist also der Realteil von [mm] \bruch{4+7i}{5} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5} [/mm] und der Imaginärteil [mm] \bruch{7i}{5}?
[/mm]
Dementsprechend müsste der Realteil von [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4} [/mm] sein und der Imaginärteil [mm] \bruch{5}{7i}?
[/mm]
wie bestimme ich nun [mm] \overline{z} [/mm] und |z|?
[mm] \overline{z} [/mm] müsste 2+i sein oder?
Und wie bringt man [mm] z_2= \bruch{1}{i+\bruch{1}{1+i}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{i-\bruch{1}{1-i}} [/mm] in die Form a+ib? eigentlich auch durch Erweiterung, aber da komme ich nicht so ganz mit klar.
Soll ich erst einen gemeinsamen nenner bilden? Beide Brüche addieren und dann erweitern
Grüße
Mathegirl
|
|
|
| |
|
okay, also Realteil ist dann [mm] \bruch{20}{65} [/mm] und Imaginärteil [mm] \bruch{35}{65}.
[/mm]
wie ist das mit der zweiten aufgabe? muss ich beide brüche addieren? ich weiß nicht wie ich das machen soll...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Mathegirl
2. Aufgabe:
1. Schritt Doppelbruch beseitigen, d.h. Nenner auf Hauptnenner (HN) bringen, dann den HN in den Zäler brinen. Dann beide Brüch wieder auf HN dann hast du einen Bruch und machst weiter wie mit 1
Aber dass man da einen Bruch draus machen muss hättest du auch selbst sehen können.
Alternativ die 2 Brüche einzeln so behandeln wie in 1 und dann addieren . denk dran 1/i=-i
Kannst du mal sagen was du über komplexe Zahlen weisst bzw. was ihr bisher gemacht habt?
Ergänze bitte dein Profil, sonst antworten wir auf dem falschen Niveau. Schule? Fachschule ? Uni?
Und bitte versuch immer erst selbst mal einen Anfang, sonst lernst du nix.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke!
Ja, so habe ich es auch gemacht, bzw im vorherigen Beitrag schonmal nachgefragt. War mir nur nicht genau sicher und wollte nochmal nachfragen.
Naj zu komplexen zahlen haben wir in er Schule nichts gemacht und an der Uni bisher auch nicht, da der Dozent schon einige Zeit krank ist. Aber Übungsblätter gibts trotzdem...
ich werde das mal durchrechnen/vorrechnen und falls fehler aufgetreten sind könnt ihr mich ja korrigieren!
LG Mathegirl
|
|
|
| |
|
also wenn ich den doppelbruch beseitige,
ergibt sich beim ersten Bruch dann:
[mm] \bruch{1+i}{1+i+i^2} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nicht falsch. aber [mm] i^2 [/mm] lässt man nicht stehen sondern setzt ein. dann wirda viel einfacher! die einzige Eigenschaft, die du von i kennst musst du immer ausnutzen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Bei [mm] z_2 [/mm] komme ich nachdem ich die Brüche umgeformt habe und zusammengerechnet habe auf [mm] \bruch{2}{i}
[/mm]
kann das denn sein?? da habe ich mich sicher verrechnet. denn wenn ich nun mit -i erweitern muss....???
ich glaube einfach ich habe mich verrechnet.
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Bei [mm]z_2[/mm] komme ich nachdem ich die Brüche umgeformt habe
> und zusammengerechnet habe auf [mm]\bruch{2}{i}[/mm]
>
> kann das denn sein?? da habe ich mich sicher verrechnet.
> denn wenn ich nun mit -i erweitern muss....???
Es stimmt bisher, nun mache die Erweiterung mit $-i$ ...
>
> ich glaube einfach ich habe mich verrechnet.
ich nicht 
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch, ist richtig, und was ist 2/i?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{2}{i} [/mm] ist -2 oder?
oder muss ich [mm] \bruch{2}{i} [/mm] mit -i erweitern, so dass ich [mm] \bruch{-2i}{i} [/mm] erhalte? das wäre ja dann aner 2i und wie soll ich davon Realteil und Imaginärteil bestimmen?
und wie bestimmt man |z| und [mm] \overline{z}?
[/mm]
wenn ich Realteil und Imaginärteil bestimmen soll von [mm] \bruch{1}{z} [/mm] dann nehme ich [mm] \bruch{1}{\bruch{-2i}{i}} [/mm] und erweitere das mit -i ??
Danke für die schnellen Antworten :)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\bruch{2}{i}[/mm] ist -2 oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du solltest ruhiger an die Aufgaben rangehen und dir das genauer überlegen, nicht sofort wieder nachfragen
>
> oder muss ich [mm]\bruch{2}{i}[/mm] mit -i erweitern,
Natürlich, ich hatte bereits in einer der ersten Antworten geschrieben, dass das der übliche "Trick" ist, um den Nenner reell zu machen
Nochmal: mit $z=x+iy, [mm] x,y\in\IR$ [/mm] ist [mm] $z\cdot{}\overline{z}=|z|^2=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2=x^2+y^2\in\IR$
[/mm]
> so dass ich
> [mm]\bruch{-2i}{i}[/mm] erhalte?
Nein, wie erweiterst du denn?
Das ist doch Stoff der 6. Klasse
[mm] $\frac{2}{i}=\frac{2\cdot{}(\red{-i})}{i\cdot{}(\red{-i})}=....$
[/mm]
Jetzt aber!
> das wäre ja dann aner 2i
Wie sollte das gehen??
> und wie
> soll ich davon Realteil und Imaginärteil bestimmen?
>
> und wie bestimmt man |z| und [mm]\overline{z}?[/mm]
Schlage die Definitionen nach!!!!
Die stehen in deiner Mitschrift, auf Wikipedia und sonst wo ...
Mensch, Mensch!
Wenn du die Darstellung [mm] $z_2=x+iy$ [/mm] hast, kannst du $|z|$ und [mm] $\overline{z}$ [/mm] doch so ohne weiteres hinschreiben ...
>
> wenn ich Realteil und Imaginärteil bestimmen soll von
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] dann nehme ich [mm]\bruch{1}{\bruch{-2i}{i}}[/mm] und
> erweitere das mit -i ??
Nun, es kommt [mm] $z_2=-2i$ [/mm] heraus, damit ist [mm] $\frac{1}{z_2}=\frac{-1}{2i}$
[/mm]
Das kannst du - um es ganz einfach zu machen - noch schreiben als [mm] $=-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{i}$
[/mm]
Nun wieder der "Trick" mit dem "reell Machen" des Nenners ...
>
>
> Danke für die schnellen Antworten :)
Du würdest uns mehr danken, wenn du besser überlegen würdest und uns zeigst, dass die Antworten nicht umsonst sind!
Dazu gehört insbesondere das Nachschlagen von Definitionen und das posten derselben
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wenn ich es wüsste, dann würde ich auch nicht hier nerven und fragen. bei dem anderen Beispiel konnte ich Imaginärteil und Realteil auch bestimmen. Aber was bei -2i real- und imaginärteil sein soll weiß ich nicht.
für [mm] \bruch{1}{z} [/mm] habe ich [mm] \bruch{2i}{-4} [/mm] raus. stimmt das überhaupt?
Ich würde sagen sagen, der Realteil ist [mm] \bruch{2}{-4}, [/mm] also -0,5 aber ist das nicht auch der Imaginärteil??
Grüße
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. 2/-4 schreibt man üblicherweise als -1/2
2. Du musst das mit den Komplexen Zahlen besse verstehen lernen.
versuch mal von folgenden Zahlen Re und IM zu nennen.
Wenn du antwortest schreib die Zahlen mit auf. also geh einfach auf zitieren und schreib jeweils die Antwort in die Zeile drunter
z1=2+3i
z2=0-3i
z3=3+0*i
z4=3i
z5=17
[mm] z6=\bruch{1}{i}-1
[/mm]
[mm] z7=\bruch{1}{i}+i
[/mm]
z8=5a+16bi a,b reell
Das sollte nur 3 Min. dauern, und wir wissen besser was du kannst
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
>
> z1=2+3i
[mm] Re(z_1)=2
[/mm]
[mm] Im(z_1)=3
[/mm]
> z2=0-3i
[mm] Re(z_2)=0
[/mm]
[mm] Im(z_2)=-3
[/mm]
> z3=3+0*i
[mm] Re(z_3)=3
[/mm]
[mm] Im(z_3)=0
[/mm]
> z4=3i
[mm] Re(z_4)=0
[/mm]
[mm] Im(z_4)=3
[/mm]
> z5=17
[mm] Re(z_5)=17
[/mm]
[mm] Im(z_5)=0
[/mm]
[mm] z_6=\bruch{1}{i}-1
[/mm]
Da kommt Null raus???
[mm] z_7=\bruch{1}{i}+i
[/mm]
2i?
[mm] Re(z_7)=0
[/mm]
[mm] Im(z_7)=2
[/mm]
> z8=5a+16bi a,b reell
[mm] Re(z_8)=5a
[/mm]
[mm] Im(z_8)=16b
[/mm]
Wird sicher wieder die Hälfte falsch sein, aber ich versuche es echt zu lernen. Bin daher über deine Hilfestellung sehr sehr erfreut!! :) Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
z6, z7 sind falsch, der Rest richtig.
Du musst wirklich verinnerlichen, dass [mm] i^2=-1
[/mm]
Da kann man auch schreiben als i*i=-1 oder i=-1/i oder 1/i=-1
z6=1/i-1=-i-1
kannst du jetzt selbst.
Du solltest dir die komplexen Zahlen in der x-y Ebene x=Re y=Im
Dann mal mal z1=2+3i auf und das konj. komplexe [mm] \overline{z1}.weist [/mm] du jetzt wie man die 2 addiert? zeichnerisch. was sieht man bei [mm] z1+\overline{z1}
[/mm]
was bei [mm] z1-\overline{z1}.
[/mm]
kannst du in der Zeichnung ungefähr 2 komplexe Zahlen multiplizieren?
guck dir doch mal die 2 links an, dann kommst du vielleicht besser zurecht.
Gruss leduart
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/~muellerm/einl.html
http://www.walter-fendt.de/m14d/komplz.htm
|
|
|
| |
|
der Betrag von z= [mm] \bruch{4+7i}{5} [/mm] ist
[mm] \wurzel{\bruch{4}{5}^2 +\bruch{7}{5}^2}
[/mm]
stimmt das so? und das natürlich noch ausrechnen....
|
|
|
| |
|
Hallo
> der Betrag von z= [mm]\bruch{4+7i}{5}[/mm] ist
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{5}^2 +\bruch{7}{5}^2}[/mm]
>
> stimmt das so? und das natürlich noch ausrechnen....
Wenn sich das [mm] \cdot^2 [/mm] auf den ganzen Bruch beziehen soll, dann stimmts. Denn [mm] |z|=\sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2}
[/mm]
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
also wäre der Betrag von z dann [mm] \bruch{13}{5} [/mm] ??? hatte mir da ein etwas anderes ergebnis vorgestellt...
|
|
|
| |
|
und [mm] \overline{z} [/mm] von [mm] \bruch{4+7i}{5}= [/mm] -5 oder stimmt das nicht??
|
|
|
| |
|
Ich erhalte im Zähler [mm] \wurzel{65}
[/mm]
|
|
|
| |
|
wie kommt man auf die Wurzel im Zähler??
Ich habe das Inverse von dem Bruch genommen, denn so hab ich verstanden, dass man [mm] \overline{z}bildet. [/mm] oder wie macht man das?
Bitt um Hilfe und Erklärungen.
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Wäreschön, wenn mir hier jemand eine Rückmeldung geben könnte, ob folgendes so stimmt:
[mm] z_2= \bruch{1}{i+\bruch{1}{1+i}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{i-\bruch{1}{1-i}}
[/mm]
Form a+ib: -2i
Re(z):0
Im(z):-2
[mm] Re(\bruch{1}{z}):0
[/mm]
[mm] Im(\bruch{1}{z}):-0,5
[/mm]
[mm] \overline{z}:\bruch{-2i}{1}
[/mm]
|z|:2
Wäre echt wichtig zu wissen, ob meine Rechnung stimmt...
Grüße
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wäreschön, wenn mir hier jemand eine Rückmeldung geben
> könnte, ob folgendes so stimmt:
>
> [mm]z_2= \bruch{1}{i+\bruch{1}{1+i}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{i-\bruch{1}{1-i}}[/mm]
>
> Form a+ib: -2i
O.K.
> Re(z):0
O.K.
> Im(z):-2
O.K.
> [mm]Re(\bruch{1}{z}):0[/mm]
O.K.
> [mm]Im(\bruch{1}{z}):-0,5[/mm]
Falsch. es ist [mm] $\bruch{1}{z} [/mm] = i/2$
> [mm]\overline{z}:\bruch{-2i}{1}[/mm]
Falsch. es ist [mm]\overline{z}=\bruch{2i}{1}= 2i[/mm]
> |z|:2
O.K.
FRED
>
> Wäre echt wichtig zu wissen, ob meine Rechnung stimmt...
>
>
> Grüße
> Mathegirl
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> wie kommt man auf die Wurzel im Zähler??
> Ich habe das Inverse von dem Bruch genommen, denn so hab
> ich verstanden, dass man [mm]\overline{z}bildet.[/mm] oder wie macht
> man das?
>
> Bitte um Hilfe und Erklärungen.
[mm] $\wurzel{\left(\bruch{4}{5}\right)^2+\left(\bruch{7}{5}\right)^2}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{\left(\bruch{4^2}{5^2}\right)+\left(\bruch{7^2}{5^2}\right)}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{\bruch{4^2+7^2}{5^2}}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{\bruch{65}{5^2}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\wurzel{65}}{\wurzel{5^2}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{5}*\wurzel{65}$
[/mm]
Lg
Herby
|
|
|
|
