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| Aufgabe | Man bestimme alle Lösungen [mm]z \in \IC[/mm] der Gleichung
[mm]5e^{3jz} = 3 - 4j[/mm] |
Moin,
also unser Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
[mm]5e^{3jz} = 3 - 4j[/mm]
[mm]e^{3jz} = \bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5}[/mm]
[mm]3jz = ln(\bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5})[/mm]
[mm]z = \bruch{ln(\bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5})}{3j}[/mm]
Wir wissen absolut nicht weiter bzw. ob das überhaupt der Lösung entspricht.
Ich hoffe, jemand ist in der Lage uns zu helfen.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man bestimme alle Lösungen [mm]z \in \IC[/mm] der Gleichung
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> [mm]5e^{3jz} = 3 - 4j[/mm]
> Moin,
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> also unser Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
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> [mm]5e^{3jz} = 3 - 4j[/mm]
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> [mm]e^{3jz} = \bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5}[/mm]
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> [mm]3jz = ln(\bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5})[/mm]
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> [mm]z = \bruch{ln(\bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5})}{3j}[/mm]
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> Wir wissen absolut nicht weiter bzw. ob das überhaupt der
> Lösung entspricht.
Hallo wesseler90,
im Prinzip ist dies richtig - aber doch nicht der optimale
Lösungsweg.
Tipp: Schreibe [mm] e^{3\,j\,z} [/mm] als $\ [mm] cos(3\,z)+j*sin(3\,z)$ [/mm] !
Vergleiche dann Real- und Imaginärteile.
LG Al-Chw.
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort, jedoch stehen wir auf dem Schlauch, was du mit dem Vergleich der Real- bzw. Imaginärteile meinst.
Also:
[mm]cos(3z) + jsin(3z) = \bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5}[/mm]
ist unsere Ausgangsformel und dann hätten wir jetzt einfach die beiden Real- und Imaginärteile gleichgesetzt, also:
[mm]cos(3z) = \bruch{3}{5}[/mm]
und
[mm]sin(3z) = -\bruch{4}{5}[/mm]
Oder wie war das gemeint? Wir sind echt ein wenig ratlos... leider.
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Hallo wesseler90,
> Hallo und vielen Dank für deine Antwort, jedoch stehen wir
> auf dem Schlauch, was du mit dem Vergleich der Real- bzw.
> Imaginärteile meinst.
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> Also:
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> [mm]cos(3z) + jsin(3z) = \bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5}[/mm]
>
> ist unsere Ausgangsformel und dann hätten wir jetzt
> einfach die beiden Real- und Imaginärteile gleichgesetzt,
> also:
>
> [mm]cos(3z) = \bruch{3}{5}[/mm]
>
> und
>
> [mm]sin(3z) = -\bruch{4}{5}[/mm]
>
> Oder wie war das gemeint? Wir sind echt ein wenig ratlos...
> leider.
>
Es steht doch zunächst da:
[mm]e^{3jz}=3-4j[/mm]
Da [mm]z\in \IC[/mm] setzen wir [mm]z=a+b*j[/mm]
Dann steht da:
[mm]e^{3j\left(a+bj\right)}=3-4j[/mm]
Den linken Teil der Gleichung müsst ihr zunächst auf die Form
[mm]c+di[/mm]
bringen.
Dann könnnen Real- und Imaginärteil der Gleichung verglichen werden.
Gruss
MathePower
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> Hallo und vielen Dank für deine Antwort, jedoch stehen wir
> auf dem Schlauch, was du mit dem Vergleich der Real- bzw.
> Imaginärteile meinst.
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> Also:
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> [mm]cos(3z) + jsin(3z) = \bruch{3}{5} - \bruch{4j}{5}[/mm]
>
> ist unsere Ausgangsformel und dann hätten wir jetzt
> einfach die beiden Real- und Imaginärteile gleichgesetzt,
> also:
>
> [mm]cos(3\,z) = \bruch{3}{5}[/mm]
>
> und
>
> [mm]sin(3\,z) = -\bruch{4}{5}[/mm]
>
> Oder wie war das gemeint?
Ja, genau so habe ich das gemeint. Es ist nun (glücklicher-
weise) so, dass diese Zahlenwerte wunderbar als Cosinus-
und Sinuswert eines Winkels (siehe das pythagoräische
3-4-5- Dreieck !) passen.
Man kann schließen, dass $\ [mm] 3\,z\ [/mm] =\ [mm] arcsin(-\bruch{4}{5})+k*2\pi$ [/mm] ist
(mit [mm] k\in\IZ)
[/mm]
LG Al-Chw.
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