komplexe Exponentialfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Man bestimme sämtliche reelle Lösungen x der Gleichung sin (2x) -cos(2x)=1 mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le2\pi
[/mm]
Anleitung: Man benutze die Darstellung von sin und cos durch die komplexe Exponentialfunktion. |
Guten Morgen,
durch etwas Probieren habe ich die Lösungen so rausbekommen:
[mm] x_{1}=pi/2
[/mm]
[mm] x_{2}=pi/4
[/mm]
[mm] x_{3}=3pi/2
[/mm]
[mm] x_{3}=5pi/4
[/mm]
Jetzt würde ich aber doch gern die Aufgabe mit der Anleitung lösen. Wie kann ich denn diese Gleichung umschreiben?
Bei dem Sinus steht ja gar kein i dabei, so dass ich es als komplexe Zahl bzw. Argument schreiben könnte.
Oder kann ich sagen, die Gleichung = e^(i2x)?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Di 27.01.2009 | | Autor: | dunno |
Hallo Ronja
Diese Formel kennst du ja:
[mm] e^{ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)\;
[/mm]
Du kannst aber auch den Sinus allein durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken:
[mm] e^{ix}-e^{-ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)-\mathrm{cos}(-x)-i\cdot\mathrm{sin}(-x)\;=2i\sin(x)
[/mm]
Mit den Gleichungen [mm] \mathrm{sin(-x)}=-\mathrm{sin(x)}\; [/mm] und [mm] \mathrm{cos(-x)}=\mathrm{cos(x)}\; [/mm] hat man
[mm] e^{ix}+e^{-ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)+\mathrm{cos}(x)-i\cdot \mathrm{sin}(x)=2 \mathrm{cos}(x) \;
[/mm]
Stellt man dies nach cos(x) um, so hat man schließlich
[mm] \mathrm{cos(x)}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{e^{ix}+\overline{e^{ix}}}{2} =\mathrm{Re}(e^{ix}) \;
[/mm]
Analog erhält man
[mm] \mathrm{sin(x)}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i}=\mathrm{Im}(e^{ix}) \;
[/mm]
Du schreibst also sin und cos so um, dann kannst du das ganze in die Gleichung einsetzen.
Beachte zudem, dass [mm] \mathrm{sin(2x)}=\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}
[/mm]
Dann solltest du zu einer Lösung kommen. (Am besten zeichnest du das ganze auf, so wie ![[]](/images/popup.gif) hier. Dann siehst du ziemlich schnell was die Lösungen sind...)
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Di 27.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
Vielen Dank!!!
Soweit kann ich das auch nachvollziehen. Eigentlich gar nicht so schwierig.
Jetzt hab ich stehen: e^(2ix) =-1 Ist das richtig umgeformt?
und da e^(i pi)=-1 gibt kann ich die erste Lösung pi/2 herausfinden.
Aber ich habe lieder nicht verstanden, wie ich beim gezeichneten Kreis auf die anderen Lösungen komme?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst benutzen, dass [mm] e^{i\phi}=e^{i\phi+n*2\pi} [/mm] n ganz
also auch [mm] -1=e^{i*3\pi} [/mm] usw.
Gruss leduart
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