kompakter Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 16.07.2011 | | Autor: | kalor |
Liebes Forum,
Ich bräuchte wieder einmal eure Hilfe. Folgende Behauptung gelingt es mir nicht zu beweisen:
Sei [mm]T \in L(X) [/mm] ein kompakter Operator und [mm] P \in L(X) [/mm] invertierbar, dann ist [mm]P^{-1}T [/mm] ein kompakter Operator.
Ich möchte ja zeigen:
[mm] C:= \overline{P^{-1}T(B_1)}[/mm] kompakt ist (Definition von einem kompakten Operator), wobei mit $\ [mm] B_1$ [/mm] die Einheitskugel gemeint ist. Da wir eine Norm haben, will ich Folgenkompaktheit zeigen, da dies Kompaktheit impliziert. Sei also $\ [mm] (y_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge in $\ C $. Ich möchte zeigen, dass es eine Teilfolge $\ [mm] (y_{n_k})_{k\in \IN}$ [/mm] gibt die konvergiert. Der Grenzwert ist dann automatisch in $\ C$ da dies abgeschlossen ist. Leider habe ich keine Ahnung wie ich jetzt weitermachen soll. Ich kann ja die Folge nicht schreiben als $\ [mm] y_n=P^{-1}T(x_n)$ [/mm] für eine Folge $\ [mm] (x_n)_{n\in \IN} \in B_1$ [/mm] wegen dem Abschluss! Kann mir vielleicht jemand helfen??
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 16.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, dass X ein normierter Raum ist und dass L(X) die Menge aller stetigen Endomorphismen auf X ist.
Es gilt allgemeiner: ist T [mm] \in [/mm] L(X) kompakt und A [mm] \in [/mm] L(X), so ist AT kompakt.
Zu zeigen ist: ist [mm] (x_n) [/mm] eine beschränkte Folge in X, so enthält [mm] (ATx_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge.
Das ist aber fast trivial, denn [mm] (Tx_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge.
Im übrigen ist auch TA kompakt.
Bez. man mit K(X) die Menge der kompakten Operatoren auf X, so ist K(X) ein Vektorraum und mit obigem folgt: K(X) ist ein zweiseitiges Ideal in L(X).
K(X) ist auch abgeschlossen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 17.07.2011 | | Autor: | kalor |
Vielleicht verstehe ich die Aussage falsch, aber ich weiss doch nicht, dass $\ [mm] P^{-1} [/mm] $ ebenfalls stetig ist. Gegeben ist ein $\ P [mm] \in [/mm] L(X) $, zudem nehmen wir an, dass eine Inverse existiert. Diese muss doch nicht unbedingt ebenfalls beschränkt sein, also stetig. Oder?
mfg
KaloR
EDIT: Klar ist sie stetig! Das folgt aus dem Satz der stetigen Inverse. Kann ein Moderator die Frage auf gelöst setzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 17.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielleicht verstehe ich die Aussage falsch, aber ich weiss
> doch nicht, dass [mm]\ P^{-1}[/mm] ebenfalls stetig ist. Gegeben ist
> ein [mm]\ P \in L(X) [/mm], zudem nehmen wir an, dass eine Inverse
> existiert. Diese muss doch nicht unbedingt ebenfalls
> beschränkt sein, also stetig. Oder?
>
> mfg
>
> KaloR
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> EDIT: Klar ist sie stetig! Das folgt aus dem Satz der
> stetigen Inverse.
Aber nur , wenn X ein Banachraum ist. Ist das der Fall ?
FRED
> Kann ein Moderator die Frage auf gelöst
> setzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 17.07.2011 | | Autor: | kalor |
Ja ist es!
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