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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 12.12.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Seien [mm] R\subset [/mm] S, [mm] R\not=S [/mm] kommutative Ringe mit [mm] s\in [/mm] S. Zeigen Sie, dass [mm] s\in [/mm] R[s] genau dann eine Einheit ist, wenn s Nullstelle eines Polynoms [mm] f=\summe_{i=1}^{n}a_ix^i\in\;R[x], [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] Einheit, ist.
(R[s]= [mm] \left{t\in\;S|t=\summe_{i=1}^{n}a_is^i, a_i\in\;R\right}) [/mm] |
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ich weiß, dass eigendlich eigene Lösungsansätze erwünscht sind, aber ich komm hier irgendwie auf keinen grünen Zweig... erste Anregungen wären schonmal hilfreich....
danke und einen schönen 3. Advent
side
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Sa 12.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehme an, die ganzen summen sollen ab $0$ laufen, oder?
erstmal ein anfang zur einen richtung: nimm an, dass $s$ eine einheit in $R[s]$ ist, dann gibt es ja ein $t [mm] \in [/mm] R[s]$ mit $st = 1$. nach definition von $R[s]$ hat dieses element die form $t = [mm] \sum_{i=0}^n b_is^i$ [/mm] mit [mm] $b_i \in [/mm] R$. also ist $1 = st = [mm] s\sum_{i=0}^n b_is^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n b_is^{i+1}$. [/mm] wie kannst du daraus nun (einfach) ein polynom der gewünschten form basteln?
probiere dann auch mal, was du bei der rückrichtung hinbekommst.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 16.12.2009 | | Autor: | side |
danke... klappt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mi 16.12.2009 | | Autor: | side |
danke, klappt
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