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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - kommutativer Ring
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kommutativer Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:51 Di 22.05.2012
Autor: mathemaus2010

Aufgabe
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und seien [mm] A_{11} \in R^{n_{1} , n_{1}}, A_{12} \in R^{n_{1} , n_{2}} [/mm] , [mm] A_{21} \in R^{n_{2} , n_{1}} [/mm]
und [mm] A_{22} \in R^{n_{2} , n_{2}} [/mm] . Weiter sei A = [mm] \pmat{ A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} } \in R^{n_{1}+n_{2},n_{1}+n_{2}} [/mm] .

Sei [mm] A_{11} \in GL_{n_{1}}(R). [/mm] Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn [mm] A_{22} [/mm] - [mm] A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} [/mm] invertierbar ist.

Finden Sie eine Formel für [mm] A^{-1}, [/mm] falls A invertierbar ist.

Hallo liebes Forum =)

leider habe ich so einige Probleme mit der Aufgabe.

Es fängt schon damit an, dass ich nicht weiß, was eigentlich [mm] R^{n_{1}} [/mm] ,  [mm] R^{n_{2}} [/mm] usw bedeutet, also die hoch gestellten Zahlen machen mir Schwierigkeiten. Mir ist klar, dass das für Matrizen steht, aber wieviel Zeilen und Spalten haben die denn nun. Was sollen [mm] n_{1}, n_{2} [/mm] usw bedeuten?

A ist eine Blockmatrix , oder? Und besteht aus Matrizen, die hier auch als A bezeichnet wurden, aber halt die entsprechenden Zahlen haben, an welcher Stelle sie in der Blockmatrix stehen. Jetzt ist mein großes Problem, dass ich dann überhaupt nicht weiß, wie ich das mit der Invertierbarkeit zeigen muss. Man muss ja die Hin - und die Rückrichtung zeigen, oder? ABER WIE?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

LG

Mathemaus =)

        
Bezug
kommutativer Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Di 22.05.2012
Autor: hippias


> Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und seien [mm]A_{11} \in R^{n_{1} , n_{1}}, A_{12} \in R^{n_{1} , n_{2}}[/mm]
> , [mm]A_{21} \in R^{n_{2} , n_{1}}[/mm]
>  und [mm]A_{22} \in R^{n_{2} , n_{2}}[/mm]
> . Weiter sei A = [mm]\pmat{ A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} } \in R^{n_{1}+n_{2},n_{1}+n_{2}}[/mm]
> .
>
> Sei [mm]A_{11} \in GL_{n_{1}}(R).[/mm] Zeigen Sie: A ist genau dann
> invertierbar, wenn [mm]A_{22}[/mm] - [mm]A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}[/mm]
> invertierbar ist.
>  
> Finden Sie eine Formel für [mm]A^{-1},[/mm] falls A invertierbar
> ist.
>  Hallo liebes Forum =)
>  
> leider habe ich so einige Probleme mit der Aufgabe.
>
> Es fängt schon damit an, dass ich nicht weiß, was
> eigentlich [mm]R^{n_{1}}[/mm] ,  [mm]R^{n_{2}}[/mm] usw bedeutet, also die
> hoch gestellten Zahlen machen mir Schwierigkeiten.

Es ist damit vermutlich die Menge der Spaltenvektoren mit Eintraegen aus $R$ gemeint.

> Mir ist
> klar, dass das für Matrizen steht, aber wieviel Zeilen und
> Spalten haben die denn nun. Was sollen [mm]n_{1}, n_{2}[/mm] usw
> bedeuten?

[mm] $R^{n_{1}, n_{2}}$ [/mm] muesste fuer die Menge der Matrizen mit [mm] $n_{1}$ [/mm] Zeilen und [mm] $n_{2}$ [/mm] Spalten mit Eintraegen aus $R$ stehen.

>  
> A ist eine Blockmatrix , oder?

Ja.

> Und besteht aus Matrizen,
> die hier auch als A bezeichnet wurden, aber halt die
> entsprechenden Zahlen haben, an welcher Stelle sie in der
> Blockmatrix stehen. Jetzt ist mein großes Problem, dass
> ich dann überhaupt nicht weiß, wie ich das mit der
> Invertierbarkeit zeigen muss. Man muss ja die Hin - und die
> Rückrichtung zeigen, oder? ABER WIE?

Richtig. Ich wuerde fuer die Inverse einen Ansatz ebenfalls als Blockmatrix machen und mit $A$ multiplizieren; da muss die Einheitsmatrix herauskommen; dann "Koeffizientenvergleich": [mm] $\pmat{ A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} } \pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }= \pmat{ A_{11}B_{11}+ A_{12}B_{21} & \ldots \\ \ldots & \ldots }= \pmat{ E & 0 \\ 0 & E }$, [/mm] also [mm] $A_{11}B_{11}+ A_{12}B_{12}= [/mm] E$, $E$ entsprechende Einheitsmatrix, und so wieter fuer die anderen Eintraege. Dann versuche nach dem [mm] $B_{i,j}$ [/mm] "umzustellen".

>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> LG
>  
> Mathemaus =)


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