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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Di 29.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei K ein nicht notwendiger kommutativer Ring mit Eins. Sei darüber hinaus die Abbildung
[mm]M(2\times 2,K) \to K[/mm]
[mm]\pmat{a & b \\ c & d} \mapsto ad-bc[/mm]
eine Determinantenabbildung. Zeigen Sie, dass dann K kommutativ sein muss. |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hi,
ich hab oben bei der Aufgabe ein kleines Verständlichkeitsproblem. Kommutativ heißt ja das ich tauschen darf also ab = ba.
Wenn ich das jetzt mit der Determinantenabbildung anwende erhalte ich:
[mm]\pmat{a & b \\ c & d} \pmat{e & f \\ g & h}= (ad-cb)(eh-gf) = adeh-adgf-cbeh+cbgf[/mm]
[mm]\pmat{e & f \\ g & h} \pmat{a & b \\ c & d}= (eh-gf)(ad-cb) = ehad-ehcb-gfad+gfcb = adeh-cbeh-adgf+cbgf[/mm]
Darf ich in den mittleren beiden auch noch mal durch tauschen? Weil dann hätt' ich ja:
[mm]adeh-adgf-cbeh+cbgf[/mm]
Aber ist das ein richtiger Beweis? Reicht das schon oder hab ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig bestanden? Mit kommutativ ist doch der Ring gemeint und nicht die Determinantenabbildung oder?
Grüße,
Marie
[mm][/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Du musst wie du selber bemerkt hast die Kommutativität des Ringes zeigen.
Nutze die Bedingungen an eine Determinantenabbildung und setze die gegebene Abb. ein.
Leite daraus irgendwie ab=ba her, wobei a und b beliebige Ringelemente sind. Da ich los muss kann ich mich nicht weiter damit beschäftigen, ich setze den status auf teilweise beantwortet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Marie!
> Sei K ein nicht notwendiger kommutativer Ring mit Eins. Sei
> darüber hinaus die Abbildung
> [mm][mm]M(2\times[/mm] 2,K) [mm]\to K[/mm][/mm]
[mm][mm]\pmat{a & b \\ c & d} \mapsto ad-bc[/mm][/mm]
> eine Determinantenabbildung. Zeigen Sie, dass dann K kommutativ sein muss.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Hi,[/mm][/mm]
> [mm][mm] ich hab oben bei der Aufgabe ein kleines Verständlichkeitsproblem. Kommutativ heißt ja das ich tauschen darf also ab = ba.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Wenn ich das jetzt mit der Determinantenabbildung anwende erhalte ich:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\pmat{a & b \\ c & d} \pmat{e & f \\ g & h}= (ad-cb)(eh-gf) = adeh-adgf-cbeh+cbgf[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]\pmat{e & f \\ g & h} \pmat{a & b \\ c & d}= (eh-gf)(ad-cb) = ehad-ehcb-gfad+gfcb = adeh-cbeh-adgf+cbgf[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Darf ich in den mittleren beiden auch noch mal durch tauschen? Weil dann hätt' ich ja:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]adeh-adgf-cbeh+cbgf[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Aber ist das ein richtiger Beweis? Reicht das schon oder hab ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig bestanden? Mit kommutativ ist doch der Ring gemeint und nicht die Determinantenabbildung oder?[/mm][/mm]
Ich glaub du machst hier grad die falsche Richtung! Du verwendest die ganze Zeit, dass $R$ kommutativ ist (bzw. das gewisse Elemente kommutieren)!
Schreib doch bitte erstmal hin, welche Eigenschaften eine Determinantenabbildung (per Definition!) erfuellen muss.
Und dann pruefe nach, welche davon verletzt sein koennte, wenn der Ring nicht kommutativ ist, und schau ob du damit ein explizites Gegenbeispiel konstruieren kannst. (Wenn du es nicht schaffst, schreib her was du schon hast. Aber den wichtigsten Punkt -- was eine Determinantenabbildung erfuellen muss -- nicht vergessen!)
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:13 Do 01.05.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
erstmal danke, für eure Antworten.
Ich weiss nicht ist das was ich gemacht hab nicht nur nachrechnen, ob das gleiche ist, wenn es kommutativ ist. Wäre aber nur ein Beispiel oder?
Eine Determinantenabbildung muss linear in jeder Zeile sein, alternierend und normiert.
Die Kommutativität kann ja nur bei der Linearität verletzt werden, es müsste dann ja gleich sein:
[mm]\lambda*\pmat{&\\&}\gdw\pmat{&\\&}*\lambda[/mm]
Aber einfach einsetzen wäre ja wieder ein Beispiel:
[mm]\lambda*\pmat{a & b \\ c & d}= \lambda(ad-cb)=\lambda ad-\lambda cb[/mm]
[mm]\pmat{a & b \\ c & d} \lambda = (ad-cb)\lambda = \lambda ad - \lambda cb[/mm]
die wären dann ja gleich.
Grüße,
Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 03.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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