kommutative Gruppe zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 06.04.2010 | | Autor: | synex |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge M = [mm] \{M_1, M_2, M_3, M_4\} [/mm] mit
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
[/mm]
[mm] M_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
[/mm]
[mm] M_3 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix},
[/mm]
[mm] M_4 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}.
[/mm]
1. Man zeige, dass die algebraische Struktur (M,*) mit * als gewöhnliche Matrizenmultiplikation eine kommutative Gruppe ist. |
Huhu,
muss ich bei dieser Aufgabe alle Matrizen in der Menge miteinander auf die Gruppeneigenschaften durchtesten oder gibt es da einen kürzen Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 06.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Menge M = [mm]\{M_1, M_2, M_3, M_4\}[/mm] mit
>
> [mm]M_1[/mm] = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},[/mm]
>
> [mm]M_2[/mm] = [mm]\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},[/mm]
>
> [mm]M_3[/mm] = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix},[/mm]
>
> [mm]M_4[/mm] = [mm]\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}.[/mm]
>
> 1. Man zeige, dass die algebraische Struktur (M,*) mit *
> als gewöhnliche Matrizenmultiplikation eine kommutative
> Gruppe ist.
> muss ich bei dieser Aufgabe alle Matrizen in der Menge
> miteinander auf die Gruppeneigenschaften durchtesten oder
> gibt es da einen kürzen Weg?
Nee, mußt du nicht, das wär ja auch eine stupide Angelegenheit. Weißt du z. B., wie viele Gruppen der Ordnung 4 es gibt? Und wie sie aussehen? Untersuch doch mal die Potenzen von [mm] M_3. [/mm] Und dann sehen wir weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 06.04.2010 | | Autor: | rrgg |
Kommutativ ist es, weil die Matrizen symmetrisch sind!
Assoziativität ist es auch schon wg. der Matrixmultiplikation!
Neutrales Element ist auch klar!
Jetz muss man noch ein inverses Element finden:
Man kann sich allgemein überlegen, wie die Inverse von einer Diagonalmatrix ausschaut; is net besonders schwer! In dem Fall hier ist es sogar noch einfacher! Die Matrizen sind selbstinvers. [mm] (diag(a_1,...,a_n)*diag(a_1,...,a_n)=diag(a_1^2,...,a_n^2) [/mm] und für die [mm] a_i [/mm] kommen ja nur die Werte 0 und 1 vor)
Man muss noch schaun, das die Verknüpfung immer in die gleiche Menge abbildet; kann man aber auch recht leicht zeigen!(genauso wie bei dem Inversen)
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