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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 10.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sind [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] kollinear, so sind auch [mm] \vec{x}=\vec{a}+\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{y}=\vec{a}-\vec{b} [/mm] kollinear.Beweisen Sie diese Aussage! |
Hallo^^
Ich hab mal versucht,die Aufgabe zu lösen,aber an einer Stelle komme ich nicht mehr weiter.
[mm] \vec{a}+\vec{b}=r*(\vec{a}-\vec{b}) [/mm]
[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2}}*\vektor{b_{1} \\ b_{2}}=r*
[/mm]
[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2}}-r*\vektor{b_{1} \\ b_{2}}
[/mm]
Dann hab ich folgendes LGS:
[mm] a_{1}+b_{1}=r*a_{1}-r*b_{1}
[/mm]
[mm] a_{2}+b_{2}=r*a_{2}-r*b_{2}
[/mm]
Ich hab jetzt versucht irgendwie das LGS zu lösen,aber das klappt nicht richtig.Stimmt das denn bis hier hin so und wie kann man denn weiterrechnen???
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
du kannst ja die Voraussetzung noch benutzen, denn du weißt ja schon, dass [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] kollinear sind, d.h. es gibt ein r [mm] \in \IR\backslash\{0\}, [/mm] so dass [mm] \vec{b} [/mm] = [mm]r*\vec{a}[/mm].
Genau so etwas musst du jetzt für die beiden Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{y}= \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] finden, d.h. nachweisen, dass der eine ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
Wenn du jetzt deinen Vektor [mm] \vec{b} [/mm] durch [mm]r*\vec{a}[/mm] ersetzt, dann sehen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] so aus:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm]r*\vec{a} = (1+r)*\vec{a}[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm]r*\vec{a} = (1-r)*\vec{a}[/mm]
Jetzt ist das eigentlich schon klar, denn beide Vektoren sind ein Vielfaches von [mm] \vec{a}. [/mm] Formal solltest du jetzt noch die beiden Fälle r=1 und r [mm] \ne [/mm] 1 unterscheiden. Für r=1 ist es klar, denn dann ist [mm] \vec{y} [/mm] der Nullvektor, der kollinear zu allen anderen ist.
Für r [mm] \ne [/mm] 1 kannst du jetzt ausrechnen, das wievielfache [mm] \vec{x} [/mm] von [mm] \vec{y} [/mm] ist:
[mm]\vec{x} = \bruch{1+r}{1-r}*\vec{y}[/mm]
Also müssen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] kollinear sein.
Man kann das natürlich noch ein bisschen schöner aufschreiben, aber ich hoffe, die Idee wird klar  .
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,jetzt hab ichs verstanden,vielen Dank =)
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