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| Aufgabe | 1) Berechen Sie das Minimalpolynom von $1+ [mm] \sqrt{2}$ [/mm] über [mm] $\IQ[\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}]$.
[/mm]
2) Zeigen Sie: $K [mm] :=\IQ[\sqrt{2},\sqrt{3}] [/mm] = [mm] \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{3}] [/mm] =: L$ |
moin,
Den zweiten Teil habe ich mithilfe des Gradsatzes gelöst.
Da ja $K [mm] \supseteq [/mm] L$ gilt, kann man die Körpererweiterung [mm] $\IQ [/mm] | L | K$ basteln.
Weiterhin ist das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] das Polynom [mm] $x^4-10x^2+1$ [/mm] und [mm] $1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$ [/mm] sind ein Erzeugendensystem von $K$ als [mm] $\IQ-$Vektorraum.
[/mm]
Damit haben $L,K$ als [mm] $\IQ-$Vektorräume [/mm] dieselbe Dimension und da überdies $L [mm] \subseteq [/mm] K$ gilt, müssen sie gleich sein.
Zu aller erst: stimmt das soweit?
Dann zum ersten Teil:
Da $K=L$ muss ja [mm] $\sqrt{2} \in [/mm] L$ gelten, also sollte das gesuchte Minimalpolynom hier [mm] $x-1-\sqrt{2}$ [/mm] sein.
Allerdings steht die erste Aufgabe vor der zweiten und so wie ich das sehe ist es so gedacht, dass man das Ergebnis der ersten (und ein paar anderer, die da auch noch mitspielen) benutzen soll, um die zweite zu zeigen.
Ich weiß aber nicht, wie man ohne zuerst den zweiten Teil zu zeigen drauf kommen soll, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] sich als [mm] $\IQ-$Linearkombination [/mm] der Potenzen von [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] schreiben lässt...
Also es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das zum einen soweit richtig ist, was ich hier von mir gebe und ob es zum anderen einen Weg gibt, die 1) vor der 2) zu machen.
thx und lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 So 10.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> 1) Berechen Sie das Minimalpolynom von [mm]1+ \sqrt{2}[/mm] über
> [mm]\IQ[\sqrt{2} + \sqrt{3}][/mm].
> 2) Zeigen Sie: [mm]K :=\IQ[\sqrt{2},\sqrt{3}] = \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{3}] =: L[/mm]
>
> Den zweiten Teil habe ich mithilfe des Gradsatzes gelöst.
> Da ja [mm]K \supseteq L[/mm] gilt, kann man die Körpererweiterung
> [mm]\IQ | L | K[/mm] basteln.
> Weiterhin ist das Minimalpolynom von [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm] das Polynom [mm]x^4-10x^2+1[/mm] und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}[/mm] sind ein Erzeugendensystem von
> [mm]K[/mm] als [mm]\IQ-[/mm]Vektorraum.
Genau.
> Damit haben [mm]L,K[/mm] als [mm]\IQ-[/mm]Vektorräume dieselbe Dimension
Moment! Nur weil $1, [mm] \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ [/mm] ein Erzeugendensystem ist, heisst es noch lange nicht, dass es auch eine Basis ist! Damit weisst du noch nicht, ob sie wirklich die gleiche Dimension haben.
Es reicht zu zeigen, dass die Dimension mindestens 3 ist (wegen dem Gradsatz). Dazu kannst du etwa [mm] $\sqrt{3} \not\in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] zeigen.
Einfacher ist jedoch, explizit $K [mm] \subseteq [/mm] L$ nachzurechnen. Zeige dazu [mm] $\sqrt{6} \in [/mm] L$ und beachte $L [mm] \ni \sqrt{6} \cdot (\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}) [/mm] = 2 [mm] \sqrt{2} [/mm] + 3 [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Jetzt mache eine Linearkombination davon und von [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
> und da überdies [mm]L \subseteq K[/mm] gilt, müssen sie gleich
> sein.
> Zu aller erst: stimmt das soweit?
>
> Dann zum ersten Teil:
> Da [mm]K=L[/mm] muss ja [mm]\sqrt{2} \in L[/mm] gelten, also sollte das
> gesuchte Minimalpolynom hier [mm]x-1-\sqrt{2}[/mm] sein.
> Allerdings steht die erste Aufgabe vor der zweiten und so
> wie ich das sehe ist es so gedacht, dass man das Ergebnis
> der ersten (und ein paar anderer, die da auch noch
> mitspielen) benutzen soll, um die zweite zu zeigen.
> Ich weiß aber nicht, wie man ohne zuerst den zweiten Teil
> zu zeigen drauf kommen soll, dass [mm]\sqrt{2}[/mm] sich als
> [mm]\IQ-[/mm]Linearkombination der Potenzen von [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm]
> schreiben lässt...
>
> Also es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob
> das zum einen soweit richtig ist, was ich hier von mir gebe
> und ob es zum anderen einen Weg gibt, die 1) vor der 2) zu
> machen.
Was besagen denn die "paar anderen" Aufgaben, die auch was damit zu tun haben? Es ist gut moeglich, dass gerade die hier helfen.
Ansonsten: du kannst zeigen, dass aus 1) direkt 2) folgt [mm] [$\sqrt{2} \in [/mm] L$], und aus 2) direkt 1) [wegen $K = L$]. Daraus folgt: ohne weitere Hilfsmittel ist es egal, ob du zuerst 1) oder 2) beweist, es kommt im Wesentlichen auf's gleiche heraus.
LG Felix
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So, die Frage davor hat sich geklärt, aber es ist eine neue aufgetaucht, deshalb poste ich die mal hier:
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper, $f [mm] \in [/mm] K[x]$ und $L$ der Zerfällungskörper von $f$.
Zeige, dass $[L:K]$ ein Teiler von [mm] $\deg(f)!$ [/mm] ist. |
Probleme macht es momentan vor allem, wenn $f$ in mehrere irreduzible Faktoren vom gleichen Grad $k$ zerfällt; wieso stecken genug $k$ in [mm] $\deg(f)!$ [/mm] oder wieso reicht es, eine Teilmenge der irreduziblen zu benutzen, sodass auch der Rest zerfällt?
thx schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 10.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> So, die Frage davor hat sich geklärt, aber es ist eine
> neue aufgetaucht, deshalb poste ich die mal hier:
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]f \in K[x][/mm] und [mm]L[/mm] der
> Zerfällungskörper von [mm]f[/mm].
> Zeige, dass [mm][L:K][/mm] ein Teiler von [mm]\deg(f)![/mm] ist.
>
>
> Probleme macht es momentan vor allem, wenn [mm]f[/mm] in mehrere
> irreduzible Faktoren vom gleichen Grad [mm]k[/mm] zerfällt; wieso
> stecken genug [mm]k[/mm] in [mm]\deg(f)![/mm] oder wieso reicht es, eine
> Teilmenge der irreduziblen zu benutzen, sodass auch der
> Rest zerfällt?
Im Wesentlichen brauchst du dafuer, dass fuer $k, [mm] \ell$ [/mm] mit $k + [mm] \ell [/mm] = n$ gilt $(k! [mm] \cdot \ell!) \mid [/mm] n!$. Das ist jedoch aequivalent zu [mm] $\binom{n}{k} [/mm] = [mm] \binom{n}{\ell} \in \IZ$.
[/mm]
Allgemeiner gilt (Multinomialkoeffizienten): sind [mm] $n_1, \dots, n_k$ [/mm] positive Zahlen, so ist [mm] $\prod_{i=1}^k n_i!$ [/mm] ein Teiler von [mm] $(\sum_{i=1}^k n_i)!$.
[/mm]
Damit solltest du es recht einfach beweisen koennen :)
LG Felix
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