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kniffliges Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mo 17.02.2020
Autor: Jellal

Hallo Leute,

ich bin am führenden Term für [mm] x\to\infty [/mm] von folgendem Integral interessiert:

[mm] \integral_{x}^{\infty}{e^{-t^{\beta}} dt} [/mm] für [mm] \beta\in(0,1]. [/mm]

Ich bekam den Hinweis, dass man das mit geschickter partieller Integration lösen kann (man sieht dann wohl, dass ein Term für wachsende x vernachlässigbar wird).
Habe aber keine Ahnung, wie ich hier erweitern muss.

Der erste Versuch, mit der Ableitung der inneren Funktion zu erweitern, scheint nicht zum Ziel zu führen:

[mm] \integral_{x}^{\infty}{-\bruch{1}{\beta t^{\beta-1}} (-\beta t^{\beta-1}) e^{-t^{\beta}} dt} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{\beta t^{\beta-1}}e^{-t^{\beta}} ]_{x}^{\infty} [/mm] - [mm] \integral_{x}^{\infty}{(-\beta + 1)\bruch {1}{t^{\beta}}e^{-t^{\beta}}dt} [/mm]
Da seh ich nicht, warum da ein Term vernachlässigbar wird...

Jemand eine Idee?

vG.

Jellal

        
Bezug
kniffliges Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mo 17.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich bin am führenden Term für [mm]x\to\infty[/mm] von folgendem Integral interessiert:

Was verstehst du unter "führendem Term"?
Taylorentwicklung?

Was hindert dich daran erst zu Taylorn und dann zu integrieren?
(Ich gehe davon aus, dass du siehst, dass das Integral gegen Null geht für $x [mm] \to \infty$) [/mm]

> = [mm][-\bruch{1}{\beta t^{\beta-1}}e^{-t^{\beta}} ]_{x}^{\infty}[/mm]  - [mm]\integral_{x}^{\infty}{(-\beta + 1)\bruch {1}{t^{\beta}}e^{-t^{\beta}}dt}[/mm]

Das hintere Integral ist nun deutlich kleiner als das Ausgangsintegral (warum?)

Der vordere Teil verhält sich wie [mm] $x^{\beta'}e^{-t^{\beta}}$ [/mm] für ein $b' [mm] \in [/mm] (0,1)$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
kniffliges Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:08 Mo 17.02.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

danke dir mal wieder für die Antwort.

> Hiho,
>  
> > ich bin am führenden Term für [mm]x\to\infty[/mm] von folgendem
> Integral interessiert:
>  Was verstehst du unter "führendem Term"?
>  Taylorentwicklung?

>

> Was hindert dich daran erst zu Taylorn und dann zu
> integrieren?

Das mit "führendem Term" kann ich leider auch nicht genauer erklären, es wurde so in der Aufgabe genannt. Und Taylor-Reihe hab ich nur nicht gemacht, weil ich dem Hinweis folgen wollte (man lebt ja noch in dem Optimismus, dass gegebende Hinweise immer die leichtesten Wege beschreiben).


>  (Ich gehe davon aus, dass du siehst, dass das Integral
> gegen Null geht für [mm]x \to \infty[/mm])

Ich bin mir nicht ganz sicher. Mein Physiker-Verständnis sagt mir, dass ein bestimmtes Integral 0 ist, wenn Ober- und Untergrenze gleich sind. Aber, hier hat man es ja mit Grenzübergängen zu tun und da versagt die Intuition oft.
Also das Integral sollte endlich sein, da der Integrand mindestens exponentiell gegen 0 konvergiert. Dann müsste das gesamte Ding auch 0 sein, wegen Ober- gleich Untergrenze.

> > = [mm][-\bruch{1}{\beta t^{\beta-1}}e^{-t^{\beta}} ]_{x}^{\infty}[/mm]
>  - [mm]\integral_{x}^{\infty}{(-\beta + 1)\bruch {1}{t^{\beta}}e^{-t^{\beta}}dt}[/mm]
>  
> Das hintere Integral ist nun deutlich kleiner als das
> Ausgangsintegral (warum?)

Das hintere Integral fällt schneller ab wegen des Faktors [mm] \bruch {1}{t^{\beta}}. [/mm] Das ist also damit gemeint...
Damit wäre der führende Term gegeben durch [mm] \bruch {1}{\beta x^{\beta-1}}e^{-x^{\beta}} [/mm] ?

vG.

Jellal


Bezug
                        
Bezug
kniffliges Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 19.02.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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