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Mir fällt einfach kein Lösung auf folgendes Problem ein:
Für welchen Punkt Q auf dem Graphen der funkrion f mit f(x)= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
ist der Abstand zum Punkt 1/2 am kleinsten?
Ich denke mal man muss die die Ortogonale zu der FUnktion bestimmen!
Wie geht das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Mirakulix,
(Nudeln oder Druide?)
> Mir fällt einfach kein Lösung auf folgendes Problem ein:
> Für welchen Punkt Q auf dem Graphen der funkrion f mit
> f(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm]
> ist der Abstand zum Punkt 1/2 am kleinsten?
Du meinst P(1 / 2), stimmt's?
(Oder ist's doch P(1/2; 0) bzw. P(0; 1/2)???)
>
> Ich denke mal man muss die die Ortogonale zu der FUnktion
> bestimmen!
> Wie geht das?
Naja, kann sein, dass das geht. Dazu müsstest Du in einem zunächst unbekannten Punkt Q(x/f(x)) zunächst die Tangentensteigung ausrechnen, daraus wiederum die Steigung der Normalen; daraus die Normalengleichung durch Q erstellen und dann (durch Einsetzen der Koordinaten von P) diejenige suchen, auf der der Punkt P liegt.
Hab' ich so noch nie versucht, könnte aber klappen.
Der übliche Lösungsweg führt über ein Extremwertproblem.
Die bildest zunächst
d(x) = Abstand des beliebigen Punktes Q(x / [mm] \wurzel{x}) [/mm] vom Punkt P(1 / 2)
und suchst dann mit Hilfe der Differenzialrechnung das Minimum von d.
d(x) = [mm] \wurzel{(x-1)^{2}+(\wurzel{x}-2)^{2}}
[/mm]
Um die Sache mit der Ableitung nicht zu kompliziert werden zu lassen, überleg' Dir nun Folgendes:
Wenn die Funktion d an einer bestimmten Stelle einen Extremwert annimmt, dann AUCH die Funktion g(x) = [mm] d^{2}(x).
[/mm]
Demnach kannst Du die ganze Extremwertrechnung auch gleich mit
g(x) [mm] =(x-1)^{2}+(\wurzel{x}-2)^{2}
[/mm]
durchführen, was viel einfacher sein dürfte!
Falls Fragen auftreten: Rückmeldung!
mfG!
Zwerglein
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