kleinste R umfassende ÄR < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 10.10.2006 | | Autor: | SaniSani |
Hallo,
ich verstehe folgende Definition nicht:
R ist eine bel. Relation über einer nichtleeren Menge A.
Dann ist R' die R umfassende kleinste ÄquivalenzrelationR und R' wird wie folgt gebildet:
N= natürliche Zahlen
[mm] R'=\{(x,y)|\exists n\in N \exists x_{1}... \exists x_{n} \in A: x=x_{1} \wedge y=x_{n} \wedge (x_{i}=x_{i+1} \vee x_{i}Rx_{i+1} \vee x_{i+1}Rx_{i})\}
[/mm]
Jetzt habe ich mir folgendes gedacht.(unabhängig von der Def von R')
Die allerkleinste ÄR über A ist die [mm] id_{A} [/mm] und die Allrelation AxA ist die größste ÄR.
Wenn ich jetzt den Schnitt bilde von allen ÄR über A komm ich zwangsläufig auf die kleinste ÄR über A.
Also sage ich einfach, ich möchte den Schnitt aller ÄR über A die R enthalten bilden.
Somit müsste ich auf die kleinste R umfassende ÄR kommen.
Aber die Bildung dieser kleinsten ÄR R' mit der obigen Def, versteh ich einfach nicht :(
Was sind diese [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{n} [/mm] und wozu brauche ich sie?
Zum Beispiel steht als Beweis in meinem Buch, dass R' reflexiv sei, " da für alle x [mm] \in [/mm] A und [mm] x=x_{1}=x_{2} [/mm] gilt: [mm] x=x_{1}=x_{2}=x [/mm] "
Also ... wenn [mm] x=x_{1}=x_{2} [/mm] gilt, dann gilt doch wohl auch [mm] x=x_{1}=x_{2}=x [/mm] aber wie kann mir das sagen, dass R' reflexiv ist.. ich verzweifel ;_;
Ich habe nach einer Antwort auf diese Frage in anderen Foren gesucht, aber keine Antwort gefunden. UA. steht die Frage auch in folgendem Forum
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=347702#post347702
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 11.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
diese Definition von R' versucht, ausgehend von R die nochfehlenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation zu bilden.
Ich beginne mal mit dem kompliziertesten, der Transitivität, denn da wird hoffentlich klar, wie diese Definition aufgebaut ist.
Sei also (x,z) [mm] \in [/mm] R und (z,y) [mm] \in [/mm] R. Ist jetzt (x,y) [mm] \not\in [/mm] R, dann muss es trotzdem in R' hinzugefügt werden, um die benötigte Transitivität zu erhalten. Nun kann es aber auch sein, dass eine entsprechende Verkettung mehrere Zwischenstufen enthält: Sind z.B. [mm] (x,z_1), (z_1,z_2), (z_2,z_3),(z_3,y) [/mm] in R, dann muss auch (x,y) in R' liegen. Die in der Beschreibung von R' genannten [mm] x_i [/mm] sind gerade die Elemente einer solchen "Transitivitätskette".
In Worten formuliert besagt die Definition von R':
xR'y genau dann, wenn sich x und y durch eine Kette endlicher Länge verbinden lassen, wobei für zwei benachbarte Glieder a und b eine der folgenden Bedingungen gilt:
1.) a=b
2.) aRb
3.) bRa
Der Beweis der Reflexivität läuft dann also folgendermaßen: mit x [mm] \in [/mm] A bilden wir die Kette x [mm] \to [/mm] x. Diese ist zulässig, denn alle benachbarten Glieder erfüllen 1.). Anfangspunkt ist x, Endpunkt ist x also ist (x,x) [mm] \in [/mm] R'.
Die Transitivität von R' ergibt sich, da man zwei bestehende Ketten über 1.) aneinanderhängen kann, die Symmetrie bekommt man mit Hilfe von 2.) und 3.) bewiesen.
Was eine härtere Nuss sein dürfte ist, die Minimalität von R' (...die kleinste ÄR...) zu beweisen, aber das dürfte bei Dir wohl auch noch eher im Hintergrund stehen...
Ich hoffe der Nebel hat sich etwas gelichtet.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Do 12.10.2006 | | Autor: | SaniSani |
vielen dank, du hast mich gerettet. ich weiß jetzt, wo mein denkknoten war :D
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