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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - kleinergleich Beziehung
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kleinergleich Beziehung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:54 Do 24.05.2012
Autor: eps

Aufgabe
aus [mm] A\le [/mm] B folgt AC [mm] \le [/mm] BC bzw [mm] DA\le [/mm] DB

[mm] A\le [/mm] B bedeutet ja, dass B-A positiv semidefinit ist, also [mm] x^T(B-A)x\ge [/mm] 0

weiss vielleicht jemand den beweis oder ein buch, wo ich den finde?
wäre sehr dankbar.

grüße

        
Bezug
kleinergleich Beziehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> aus [mm]A\le[/mm] B folgt AC [mm]\le[/mm] BC bzw [mm]DA\le[/mm] DB
>  [mm]A\le[/mm] B bedeutet ja, dass B-A positiv semidefinit ist, also
> [mm]x^T(B-A)x\ge[/mm] 0
>  
> weiss vielleicht jemand den beweis oder ein buch, wo ich
> den finde?
>  wäre sehr dankbar.

Das ist schon wieder so eine Anfrage von Dir, in der sämtliche Voraussetzungen fehlen !

Ich nehme an, dass A,B, C und D symmetrische Matrizen sind. Weiter vermute ich , dass auch noch gelten soll: C [mm] \ge [/mm] 0 und D [mm] \ge [/mm] 0.

Wenn Du das bestätigst, beschäftige ich mich vielleicht mit dem Problem

FRED

>  
> grüße


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kleinergleich Beziehung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Do 24.05.2012
Autor: eps

ich dachte eigentlich, das gilt generell - aber dann muss ich wohl voraussetzen, dass die Matrizen positiv definit sind (dafür brauche ich es). müssen sie denn auch symmetrisch sein?  


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Bezug
kleinergleich Beziehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> ich dachte eigentlich, das gilt generell - aber dann muss
> ich wohl voraussetzen, dass die Matrizen positiv definit
> sind (dafür brauche ich es). müssen sie denn auch
> symmetrisch sein?  

Die Relation " [mm] \le" [/mm] genügt doch gewissen Anforderungen, z.B.:

        Aus A [mm] \le [/mm] B und B [mm] \le [/mm] A folgt A=B.

D.h.:  aus $ x^TAx=x^TBx$   für alle x folgt A=B.

Für Matrizen , die nicht symm. sind, ist das i.a. falsch !

Das siehst Du an [mm] A:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] und [mm] B:=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]

Rechne nach:  $x^TAx=0=x^TBx$  für alle x [mm] \in \IR^2 [/mm]

Noch etwas: hast Du oben nicht doch noch was vergessen ? Nämlich, dass C mit A und B vertauschbar ist ? Ebenso für D

FRED

>  


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kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Do 24.05.2012
Autor: eps

naja, dass die vertauschbar sind folgt ja aus den beiden folgerungen:
[mm] AC\le [/mm] BC und CA [mm] \le [/mm] CB

Bezug
                                        
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kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:26 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> naja, dass die vertauschbar sind folgt ja aus den beiden
> folgerungen:
> [mm]AC\le[/mm] BC und CA [mm]\le[/mm] CB

Was ist los ? Wo kommt das denn so plötzlich wie aus Zauberhand her ?

Schreib bitte die komplette Aufgabenstellung hier rein. Lass nix weg und füg nix dazu.

Ich hab keine Lust auf ständiges Rätselraten und Spekulieren

Erst an Weihnachten vertilge ich wieder Spekulatius.

FRED


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kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Do 24.05.2012
Autor: eps

ich wollte doch zeigen, dass aus [mm] A\le [/mm] B auch [mm] AC\le [/mm] BC und [mm] DA\le [/mm] DB folgt, also auch für D=C und genau das ist dann natürlich auch CA [mm] \le [/mm] CB.... ist doch eigentlich klar?!

Bezug
                                                        
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kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> ich wollte doch zeigen, dass aus [mm]A\le[/mm] B auch [mm]AC\le[/mm] BC und
> [mm]DA\le[/mm] DB folgt, also auch für D=C und genau das ist dann
> natürlich auch CA [mm]\le[/mm] CB.... ist doch eigentlich klar?!

Mein Gott, ich glaub es nicht !

Aus A [mm] \le [/mm] B und C [mm] \ge [/mm] 0 folgt i.a. nicht, dass AC [mm] \le [/mm] BC ist.

Richtig wirds wenn noch gilt: CA=AC und CB=BC

Nach dieser zusätzliche Vor. hab ich Dich gefragt.

Mir wirds langsam zu blöd, wenn Du nicht endlich die exakte Aufgabenstellung mit allem drum und dran hier verewigst !

Auf immer und ewig Dein FRED


Bezug
                                                                
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kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Do 24.05.2012
Autor: eps

tut mir leid, aber die aufgabe kann ich leider nicht konkreter schreiben, da ich sie mir selbst gestellt hab, weil es in einem beweis vorkommt - also AC=CA gilt dort nicht unbedingt.
ich hatte jetzt überlegt, ob es nicht einfach so geht:
A [mm] \le [/mm] B und [mm] C\ge [/mm] 0 (wegen positiver definitheit) wird vorausgesetzt, dann ist
[mm] x^T(CB-CA)x=x^TC(B-A)x\ge x^T(B-A)x\ge [/mm] 0

kann das sein oder ist das auch wieder quatsch?

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kleinergleich Beziehung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Do 24.05.2012
Autor: eps

also das muss auf jeden fall gelten für positiv definite matrizen, ich habe mehrere beweise, wo das verwendet wird. aber ist meine rechnung korrekt?

>  ich hatte jetzt überlegt, ob es nicht einfach so geht:
>  A [mm]\le[/mm] B und [mm]C\ge[/mm] 0 (wegen positiver definitheit) wird
> vorausgesetzt, dann ist
>  [mm]x^T(CB-CA)x=x^TC(B-A)x\ge x^T(B-A)x\ge[/mm] 0



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kleinergleich Beziehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Do 24.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> also das muss auf jeden fall gelten

also Fred hat's Dir schon gesagt: WAS muss gelten? Von dem, was Du bisher an Voraussetzungen geliefert hast, hat FRED stets gezeigt, dass das, was angeblich gelten soll, immer mit einem Gegenbeispiel widerlegt werden kann.

Ich meine: Wenn ich sage, dass für reelle [mm] $x,y\,$ [/mm] aus $x < [mm] y\,$ [/mm] stets  [mm] $x^2 [/mm] < [mm] y^2$ [/mm] folgt, dann ist das falsch. Schreibe ich zusätzlich:
"Naja, ich meinte eigentlich gar nicht alle reellen [mm] $x,y\,,$ [/mm] sondern ich meinte nur die reellen $x,y [mm] \ge 0\,.$" [/mm]
dann stimmt's, dass $x < y [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] < [mm] y^2\,.$ [/mm]

Wenn Du Dir selbst Fragen stellst, warum man irgendwo etwas macht, dann schau' auch nach, was die alles voraussetzen. Und wie Fred schon meinte: "Vertauschbar" bedeutet sowas wie Kommutativität der Multiplikation - bei quadratischen Matrizen.

> für positiv definite
> matrizen, ich habe mehrere beweise, wo das verwendet wird.

Toll. Noch toller wäre es, wenn Du entweder einen mal komplett abtippst (vielleicht merkst Du dabei selbst, was alles noch zusätzlich an Voraussetzungen dann verwendet wird - ich unterstelle Dir nicht, dass Du das, bei solchen Fragen, die Du Dir selbst stellst, absichtlich verschweigst - aber Du schaust wenigstens nicht genau genug hin oder hältst Informationen für unwichtig, die hier aber vermutlich doch total wichtig sind!) - oder Du sagst uns, wo wir es nachlesen können - oder Du verlinkst uns einen solchen Beweis (schlimmstenfalls kann man es auch mal mit google books versuchen)!

> aber ist meine rechnung korrekt?

Nein!
  

> >  ich hatte jetzt überlegt, ob es nicht einfach so geht:

>  >  A [mm]\le[/mm] B und [mm]C\ge[/mm] 0 (wegen positiver definitheit) wird
> > vorausgesetzt, dann ist
>  >  [mm]x^T(CB-CA)x=x^TC(B-A)x\ge x^T(B-A)x\ge[/mm] 0
>  
>  

Wieso sollte da sowas gelten?
[mm] $$x^TC(B-A)x\ge x^T(B-A)x$$ [/mm]
?
In einem mathematisch korrekten Beweis musst Du eigentlich jeden noch so kleinen Schritt begründen können - und sei es, dass Du in einem geordneten Körper erklärst, dass [mm] $a^2 [/mm] > 0$ für $a > [mm] 0\,$ [/mm] gilt, weil man den Beweis detailliert in irgendeinem Buch nachlesen kann - wobei das Buch eigentlich mit der passenden Stelle zu zitieren ist. Das Problem bei solchen Zitaten ist dann immer: Was, wenn der Buchautor da mal Unsinn geschrieben hat?

Also während meines Studiums habe ich auch, als mein Prof. einen Beweis anders machen wollte, als das bis dahin immer gemacht worden ist, etwas nachgerechnet, was ihm zeigte, dass seine Vorgehensweise so leider nicht klappt. Und da sagte selbst der "Sch..., jetzt weiß ich auch, warum das in den Büchern immer so kompliziert gemacht wurde und keiner das mit meiner einfachen Idee gemacht hat. Das hatte mich auch schon gewundert..."

Also: Denk' dran: Schlimmstenfalls musst Du jmd. am besten "die banalsten Folgerungen" beweisen können. Kapierst Du selbst irgendeine Stelle nicht, dann denkst Du da entweder zu verquert, dass Du das (evtl. einfache) Argument nicht siehst, oder die Stelle ist vielleicht doch komplizierter, als sie zunächst scheint...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                        
Bezug
kleinergleich Beziehung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:46 Do 24.05.2012
Autor: eps

Aufgabe
A, B positiv definit
für die konkave funktion [mm] t^{1-\alpha} [/mm] mit [mm] 0\le \alpha \le [/mm] 1 gilt:
[mm] (\lambda [/mm] I [mm] +(1-\lambda)A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}\ge \lambda [/mm] I + [mm] (1-\lambda) (A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha} [/mm]
durch multiplizieren mit [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] auf beiden Seiten erhalten wir
[mm] A^{\bruch{1}{2}}(\lambda [/mm] I [mm] +(1-\lambda)A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}A^{\bruch{1}{2}}\ge \lambda [/mm] A + [mm] (1-\lambda)(A^{\bruch{1}{2}} (A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}A^{\bruch{1}{2}}) [/mm]

hier ist einer der konkreten beweise, den ich meine... vielleicht kann mir dann jemand weiterhelfen?! Dabei gilt für A positiv definit, dass auch [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] positiv definit ist.

Bezug
                                                                                                
Bezug
kleinergleich Beziehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 25.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> A, B positiv definit
>  für die konkave funktion [mm]t^{1-\alpha}[/mm] mit [mm]0\le \alpha \le[/mm]
> 1 gilt:

was ist das genau für eine Funktion? Ich meine: Welchen Definitionsbereich hat sie? Denn unten setzt man für [mm] $t\,$ [/mm] plötzlich Matrizen ein! (Und das [mm] $\ge$ [/mm] ist wieder im Sinne von "entsprechende Differenzmatrix ist positiv semidefinit" gemeint?)

>  [mm](\lambda[/mm] I
> [mm]+(1-\lambda)A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}\ge \lambda[/mm]
> I + [mm](1-\lambda) (A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}[/mm]
>  
> durch multiplizieren mit [mm]A^{\bruch{1}{2}}[/mm] auf beiden Seiten
> erhalten wir
> [mm]A^{\bruch{1}{2}}(\lambda[/mm] I
> [mm]+(1-\lambda)A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}A^{\bruch{1}{2}}\ge \lambda[/mm]
> A + [mm](1-\lambda)(A^{\bruch{1}{2}} (A^{-\bruch{1}{2}}BA^{-\bruch{1}{2}})^{1-\alpha}A^{\bruch{1}{2}})[/mm]
>  
> hier ist einer der konkreten beweise, den ich meine...
> vielleicht kann mir dann jemand weiterhelfen?! Dabei gilt
> für A positiv definit, dass auch [mm]A^{\bruch{1}{2}}[/mm] positiv
> definit ist.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                        
Bezug
kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Fr 25.05.2012
Autor: eps


> was ist das genau für eine Funktion? Ich meine: Welchen
> Definitionsbereich hat sie? Denn unten setzt man für [mm]t\,[/mm]
> plötzlich Matrizen ein! (Und das [mm]\ge[/mm] ist wieder im Sinne
> von "entsprechende Differenzmatrix ist positiv semidefinit"
> gemeint?)

die wurzelfunktion t ist auf [mm] \IR^+ [/mm] definiert.
man kann die funktion auf kommutative matrizen übertragen, da siese sich mit derselben transformationsmatrix diagonalisieren lassen.
das [mm] \ge [/mm] ist dabei wie üblich gemeint (differenz positiv semidefinit).

Bezug
                                                                                                                
Bezug
kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Fr 25.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

>
> > was ist das genau für eine Funktion? Ich meine: Welchen
> > Definitionsbereich hat sie? Denn unten setzt man für [mm]t\,[/mm]
> > plötzlich Matrizen ein! (Und das [mm]\ge[/mm] ist wieder im Sinne
> > von "entsprechende Differenzmatrix ist positiv semidefinit"
> > gemeint?)
>  
> die wurzelfunktion t

[mm] $t\,$ [/mm] ist keine Wurzelfunktion, sondern stünde maximimal für die Funktion $t [mm] \mapsto t\,.$ [/mm] Du meinst aber die Funktion [mm] $t^{1-\alpha}\,.$ [/mm] (Oder minimal besser formuliert $t [mm] \mapsto t^{1-\alpha}\,.$) [/mm]

> ist auf [mm]\IR^+[/mm] definiert.
>  man kann die funktion auf kommutative matrizen
> übertragen, da siese sich mit derselben
> transformationsmatrix diagonalisieren lassen.

Was ist "dieselbe Transformationsmatrix"? Also ich weiß nicht: In meiner linearen Algebra-Vorlesung (lang ist's her) haben wir immer mit Entwicklung gearbeitet, die der Taylorreihe der Exponentialfunktion analog war. Da gab's auch Analogien und Begründungen (mit Banachräumen und was-weiß-ich-nicht-alles...)
Das habe ich nicht mehr im Kopf. Wie genau ist bei Dir nun [mm] $A^{1-\alpha}$ [/mm] für [mm] $A\,$ [/mm] pos. semidefinit zu verstehen? Ich bin nur zu faul, es nachzugucken...

> das [mm]\ge[/mm] ist dabei wie üblich gemeint (differenz positiv
> semidefinit).

Okay, das macht dann irgendwie Sinn. Auch, wenn mir nicht ganz klar ist, wie die Analogie einer reellwertigen Funktion gemeint ist, wenn man dort Matrizen einsetzt und wieso das ganze dann "notationstreue" Ergebnisse erzielt, wenn man [mm] $\ge$ [/mm] als "pso. sem. def.-Symbol" benutzt...

P.S.
Wenn Du oben schreibst "man kann die Definition auf kommutative Matrizen übertragen":
Siehste, da haben wir die von Fred angesprochene Vertauschbarkeit!!
D.h. bei der Aufgabe dort wurde irgendwo diese Vertauschbarkeit mit vorausgesetzt, andernfalls kannst Du die Matrizen ja "nicht in die Funktion einsetzen"!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
kleinergleich Beziehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Sa 26.05.2012
Autor: eps

aber am ende mit Multiplizieren von [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] wird ja nicht kommutativität vorausgesetzt und die sind auch nicht unbedingt kommutativ... darum gehts mir doch, warum hier [mm] \ge [/mm] erhalten bleibt.

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