klassengruppe nicht trivial < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mi 07.05.2008 | | Autor: | koi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Klassengruppe Hk von K = [mm] \IQ(\wurzel{-5}) [/mm] nicht-trivial ist.
Tipp: Zeigen Sie, dass das Ideal I = [mm] (2,1+\wurzel{-5}) [/mm] kein Hauptideal ist. |
hey!
sitze schon etwas länger an dieser aufgabe, bekomme aber irgendwie gar keinen zugang. es hapert schon an dem verständnis des begriffs klassengruppe. kann mir vllt jem erklären, wie diese bei der aufgabe konkret aussieht und wie ich anfangen muss, um die Lösung zu bekommen?
als definition in der vorlesung hatten wir:
Der Quotient Cl = I/P heisst klassengruppe von K.
wobei I die Idealgruppe von K ist (also die gruppe der gebrochenen Ideale) und P Untergruppe von I, also alle gebrochenen Hauptideale (a) = aR für a [mm] \in [/mm] R (Dedekindring) für a [mm] \in [/mm] K*
danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die Klassengruppe Hk von K =
> [mm]\IQ(\wurzel{-5})[/mm] nicht-trivial ist.
> Tipp: Zeigen Sie, dass das Ideal I = [mm](2,1+\wurzel{-5})[/mm]
> kein Hauptideal ist.
>
> hey!
> sitze schon etwas länger an dieser aufgabe, bekomme aber
> irgendwie gar keinen zugang. es hapert schon an dem
> verständnis des begriffs klassengruppe. kann mir vllt jem
> erklären, wie diese bei der aufgabe konkret aussieht und
> wie ich anfangen muss, um die Lösung zu bekommen?
> als definition in der vorlesung hatten wir:
> Der Quotient Cl = I/P heisst klassengruppe von K.
> wobei I die Idealgruppe von K ist (also die gruppe der
> gebrochenen Ideale) und P Untergruppe von I, also alle
> gebrochenen Hauptideale (a) = aR für a [mm]\in[/mm] R (Dedekindring)
> für a [mm]\in[/mm] K*
Ok, da hast du ja schonmal die Definition! Die Klassengruppe $Cl = I/P$ ist genau dann nicht trivial, wenn $P$ eine echte Teilmenge von $I$ ist, also wenn es ein Ideal gibt, welches kein Hauptideal ist.
So. Und jetzt hast du einen Tipp gegeben: du sollst zeigen, dass das oben genannte Ideal kein Hauptideal ist. Wenn du das gezeigt hast, hast du die Aufgabe geloest.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 07.05.2008 | | Autor: | koi |
danke für deine antwort, habs mal so probiert:
I ist das kleinste Ideal, dass die beiden erzeuger enthält. Wenn I HI wäre, dann hätte es einen Erzeuger a + [mm] b\wurzel{-5}
[/mm]
Wenn man jetzt die Normfunktion anwendet, dann ist N(a + [mm] b\wurzel{-5}) [/mm] | N(2), [mm] N(1+\wurzel{-5})
[/mm]
also a²+5b² |2 (da ggt(4,6) = 2
das geht aber nur, wenn a²+5b² = 1 ist und das heisst, a = +- 1, b = 0
dann ist aber [mm] <2,1+\wurzel{-5}> [/mm] der ganze Ring, weil es von der Einheit a erzeugt wird, und Einheiten immer den ganzen Ring erzeugen.
Kann man so vorgehen, oder habe ich noch was vergessen?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> I ist das kleinste Ideal, dass die beiden erzeuger enthält.
> Wenn I HI wäre, dann hätte es einen Erzeuger a +
> [mm]b\wurzel{-5}[/mm]
> Wenn man jetzt die Normfunktion anwendet, dann ist N(a +
> [mm]b\wurzel{-5})[/mm] | N(2), [mm]N(1+\wurzel{-5})[/mm]
> also a²+5b² |2 (da ggt(4,6) = 2
> das geht aber nur, wenn a²+5b² = 1 ist und das heisst, a =
> +- 1, b = 0
> dann ist aber [mm]<2,1+\wurzel{-5}>[/mm] der ganze Ring, weil es
> von der Einheit a erzeugt wird, und Einheiten immer den
> ganzen Ring erzeugen.
Soweit so gut.
> Kann man so vorgehen, oder habe ich noch was vergessen?
Du musst jetzt noch zeigen, dass $(2, 1 + [mm] \sqrt{-5})$ [/mm] auch wirklich nicht der ganze Ring ist. (Ansonsten bekommst du keinen Widerspruch.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 07.05.2008 | | Autor: | koi |
das macht wohl sinn:)
vielen dank für die hilfe!
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