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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien n,m [mm] \varepsilon \IN [/mm] . Zeigen Sie, dass
kgV(m,n) = [mm] \bruch{m \* n}{ggt(m,n)} [/mm] ist |
Kann mir da jemand helfen. Vllt kann mir ja einer Tipps geben, wie man an sowas herangeht und dann kann ich dadurch versuchen, an die Lösung zu kommen. Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du könntest m und n in ihre Primfaktoren aufteilen. In welchem Verhältnis stehen ggt und kgv zu den Primfaktoren?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich hoffe, dass ich jetzt auch richtig verstanden hab, worauf du hinaus möchtest.
Also. Der ggT(m,n) ist ein Teiler von m und n. Wenn p ein weiterer Teiler von m und n ist, so ist p auch ein Teiler von ggT(m,n). Analog gilt das für das kgV. Wolltest du darauf hinaus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Primfaktorzerlegung von m und n kennst. wie findest du dann kgV und ggT?
oder was passiert, wenn du m durch ggT(m,n)=k teilst, was ist der ggT(m/k,n)
was ihr kGV.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry hab jetzt länger überlegt. Ich komme nicht drauf. Kannst du das vllt mal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es wäre nett, wenn du sagst, was du überlegt hast!
Wie findest du denn den kgV und den ggT von 2 Zahlen
z.Bsp 1221 und 555? oder denk dir selbst welche aus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 So 14.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also.
Für das kgV gilt ja folgendes:
kgV(a,b)
(1) a|v
(2) b|v
(3) Für alle e [mm] \varepsilon \IR: [/mm] Wenn a|e und b|e dann v|e
Für den ggT gilt folgendes:
ggT(a,b)
(1) c|a
(2) c|b
(3) Für alle d [mm] \varepsilon \IR: [/mm] Wenn d|a und d|b dann d|c
Den ggT kann man mithilfe des Euklidischen Algorithmus bestimmen. Aber wie das beim kgV geht, weiß ich nicht :(
Hilft mir das oben geschriebene denn weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also.
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> Für das kgV gilt ja folgendes:
>
> kgV(a,b)
>
> (1) a|v
> (2) b|v
> (3) Für alle e [mm]\varepsilon \IR:[/mm] Wenn a|e und b|e dann
> v|e
>
> Für den ggT gilt folgendes:
>
> ggT(a,b)
>
> (1) c|a
> (2) c|b
> (3) Für alle d [mm]\varepsilon \IR:[/mm] Wenn d|a und d|b dann
> d|c
Genau.
> Den ggT kann man mithilfe des Euklidischen Algorithmus
> bestimmen. Aber wie das beim kgV geht, weiß ich nicht :(
Den kgV bestimmst du mit [mm] $\frac{n m}{ggT(n, m)}$. [/mm] Das sollst du ja gerade in dieser Aufgabe zeigen.
Hier geht es aber nicht darum, wie man das ausrechnet. Sondern wie man etwas beweist. Sprich, den euklidischen Algorithmus kannst du hier getrost ignorieren.
Jetzt nochmal von vorne, zu dem was leduart schrieb.
Seien [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] die Primzahlen, die in $n$ und $m$ auftauchen. Dann kannst du $n = [mm] \pm \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] schreiben mit [mm] $e_i \in \IN$ [/mm] und $m = [mm] \pm \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}$ [/mm] mit [mm] $f_i \in \IN$.
[/mm]
Jetzt kannst du $ggT(n, m) = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{c_i}$ [/mm] und $kgV(n, m) = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{d_i}$ [/mm] schreiben mit [mm] $c_i, d_i \in \IN$.
[/mm]
Wie sehen [mm] $c_i$ [/mm] und [mm] $d_i$ [/mm] aus? Du kannst sie direkt mit Hilfe von [mm] $e_i$ [/mm] und [mm] $f_i$ [/mm] beschreiben!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 14.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Es seien n,m [mm]\varepsilon \IN[/mm] . Zeigen Sie, dass
> kgV(m,n) = [mm]\bruch{m \* n}{ggt(m,n)}[/mm] ist
> Kann mir da jemand helfen. Vllt kann mir ja einer Tipps
> geben, wie man an sowas herangeht und dann kann ich dadurch
> versuchen, an die Lösung zu kommen. Danke schonmal.
Hallo,
sei d der ggT(n,m).
Dann gilt:
n=a*d (a [mm] \in \IN)
[/mm]
und
m=b*d (b [mm] \in \IN) [/mm]
(das folgt jeweils aus der Definition der Teilbarkeit)
UND (wichtig!)
ggT(a,b)=1 (warum)?
Unter Verwendung dieser beiden Darstellungen für m und n solltest du jetzt deren kgV zusammenbasteln können.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 14.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich versteh zwar deine Ansätze, aber insgesamt finde ich immer noch nicht die Anwendung dafür.
ggT(a,b) = 1 weil diese nun teilerfremd sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versteh zwar deine Ansätze, aber insgesamt finde ich
> immer noch nicht die Anwendung dafür.
Nun. Es ist doch [mm] $\frac{n m}{ggT(n, m)} [/mm] = [mm] \frac{d^2 a b}{d} [/mm] = d a b$.
Zeige, dass dies ein kgV ist.
> ggT(a,b) = 1 weil diese nun teilerfremd sind.
Das musst du eigentlich noch zeigen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 14.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich versteh zwar deine Ansätze, aber insgesamt finde ich
> immer noch nicht die Anwendung dafür.
Na, aber...
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Terme
a*d und b*d ?!?
Gruß Abakus
>
> ggT(a,b) = 1 weil diese nun teilerfremd sind.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 11:18 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien n,m [mm]\varepsilon \IN[/mm] . Zeigen Sie, dass
> kgV(m,n) = [mm]\bruch{m \* n}{ggt(m,n)}[/mm] ist
> Kann mir da jemand helfen. Vllt kann mir ja einer Tipps
> geben, wie man an sowas herangeht und dann kann ich dadurch
> versuchen, an die Lösung zu kommen. Danke schonmal.
Eine etwas abstraktere Version (lohnt sich das mal nachzupruefen):
Sei $R$ ein Integritaetsring und $n, m [mm] \in [/mm] R$.
* Sei $A = [mm] \{ d \in R \mid d \text{ gemeinsamer Teiler von } n, m \}$
[/mm]
* Sei $B = [mm] \{ c \in R \mid c \text{ gemeinsames Vielfaches von } n, m \text{ und } c \text{ teilt } n m \}$
[/mm]
* Die Abbildungen [mm] $\phi [/mm] : A [mm] \to [/mm] B$, $d [mm] \mapsto \frac{n m}{d}$ [/mm] und [mm] $\psi [/mm] : B [mm] \to [/mm] A$, $c [mm] \mapsto \frac{n m}{c}$ [/mm] sind wohldefiniert.
* Es gilt [mm] $\phi \circ \psi [/mm] = [mm] id_B$ [/mm] un [mm] $\psi \circ \phi [/mm] = [mm] id_A$.
[/mm]
* Sind $A$ und $B$ partiell angeordnet mit der Teiler-Relation (also $a [mm] \le [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \mid [/mm] b$), so ist [mm] $\phi$ [/mm] (und damit auch [mm] $\psi$) [/mm] ordnungumkehrend, d.h. aus $a [mm] \mid [/mm] b$ folgt [mm] $\phi(b) \mid \phi(a)$.
[/mm]
Daraus folgt:
* ist $d [mm] \in [/mm] A$ ein ggT von $n$ und $m$, so ist [mm] $\phi(d) [/mm] = [mm] \frac{n m}{d}$ [/mm] ein kgV von $n$ und $m$;
* ist $c [mm] \in [/mm] B$ ein kgV von $n$ und $m$, so ist [mm] $\psi(c) [/mm] = [mm] \frac{n m}{c}$ [/mm] ein ggT von $n$ und $m$.
(Beachte, dass jedes kgV von $n$ und $m$ in $B$ liegt.)
Insbesondere existiert in einem beliebigen Integritaetsbereich genau dann ein ggT, wenn ein kgV existiert.
EDIT: Ich bin mir gerade nicht sicher, ob man fuer die roten Stellen nicht doch eine Primfaktorzerlegung oder aehnliches braucht, um die Existenz eines kgV zu garantieren.
LG Felix
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