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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 05.12.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Ist [mm] $\alpha: V\to [/mm] W$ eine affine Abbildung, dann existiert eine eindeutig bestimme lineare Abbildung [mm] $\psi_\alpha :V\to [/mm] W$ und ein eindeutiges [mm] $w_\alpha \in [/mm] W,$ sodass [mm] $\alpha(v)= \psi_\alpha(v) [/mm] + [mm] w_\alpha,$ [/mm] für alle [mm] $v\in [/mm] V.$ Dabei ist [mm] $w_\alpha=\alpha(0)$ [/mm] und $ [mm] \psi_\alpha(v)= \alpha(v) [/mm] - [mm] \alpha(0). [/mm] $ Weiters gilt [mm] $\psi_{\alpha_2 \circ \alpha_1} [/mm] = [mm] \psi_{\alpha_2} \psi_{\alpha_1} [/mm] $ und [mm] $w_{\alpha_2\circ \alpha_1} [/mm] = [mm] \psi_{\alpha_2}(w_{\alpha_1}) [/mm] + [mm] w_{\alpha_2} [/mm] .$ |
Die Eindeutigkeitsaussage kann kaum gezeigt werden, weil sie offensichtlich ist.
Es bleibt nur zu zeigen, dass die Abbildung [mm] $\psi_{\alpha(v)}:= \alpha(v)-\alpha(0) [/mm] $, linear ist.
Seien dazu [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$, so gilt: [mm] $\psi_\alpha(v_1+v_2) [/mm] = [mm] \alpha(v1+v_2) -\alpha(0) [/mm] = [mm] \alpha(1v_1+1v_2-1\cdot [/mm] 0) = [mm] (1\alpha(v_1)+1\alpha(v_2)-1\cdot\alpha(0)) [/mm] - [mm] \alpha(0) [/mm] = [mm] (\alpha(v_1)- \alpha(0))+ (\alpha(v_2)- \alpha(0) [/mm] ) = [mm] \psi(v_1)+ \psi(v_2). [/mm]
Seien nun [mm] $\lambda\in \mathbb{K}, v\in [/mm] V.$ Dann betrachte
[mm] $\psi(\lambda [/mm] v) = [mm] \alpha(\lambda v)-\alpha(0) [/mm] = [mm] \alpha(\lambda [/mm] v+ [mm] (1-\lambda)\cdot [/mm] 0) - [mm] \alpha(0) [/mm] = [mm] \lambda\alpha(v) [/mm] + [mm] (1-\lambda)\alpha(0) [/mm] - [mm] \alpha(0) [/mm] = [mm] \lambda(\alpha(v) [/mm] - [mm] \alpha(0)) [/mm] + [mm] \alpha(0) [/mm] - [mm] \alpha(0) [/mm] = [mm] \lambda\psi(v) [/mm] .$ Damit ist [mm] $\psi$ [/mm] linear.
Jetzt bleibt noch [mm] $\psi_{\alpha_2 \circ \alpha_1} [/mm] = [mm] \psi_{\alpha_2} \psi_{\alpha_1} [/mm] $ und [mm] $w_{\alpha_2\circ \alpha_1} [/mm] = [mm] \psi_{\alpha_2}(w_{\alpha_1}) [/mm] + [mm] w_{\alpha_2} [/mm] .$ zu zeigen.
Wenn ich in die Definition dieser Symbole einsetze, dann sieht man, was zu zeigen ist:
[mm] $\alpha(\alpha_1(v) [/mm] - [mm] \alpha_2(\alpha_1(0)) [/mm] = [mm] (\alpha_2(v) [/mm] - [mm] \alpha_2(0))(\alpha_1(v)-\alpha_1(0)). [/mm] $ Aber das verstehe ich nicht. Wie soll ich denn bitte eine Hintereinanderausführung von Abbildungen mit der gewöhnlichen Multiplikation in Verbindung bringen??
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Do 06.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo clemenum,
> Die Eindeutigkeitsaussage kann kaum gezeigt werden, weil
> sie offensichtlich ist.
Ja? Warum das? Warum gilt für jede weitere lineare Abbildung [mm] $\psi_\alpha'\colon V\to [/mm] W$ und jedes weitere [mm] $w_\alpha'\in [/mm] W$ mit [mm] $\alpha=\psi_\alpha'+w_\alpha'$ [/mm] schon [mm] $\psi_\alpha'=\psi_\alpha$ [/mm] und [mm] $w_\alpha'=w_\alpha$?
[/mm]
> Es bleibt nur zu zeigen, dass die Abbildung
> [mm]\psi_{\alpha(v)}:= \alpha(v)-\alpha(0) [/mm], linear ist.
> Seien dazu [mm]$v_1,v_2\in[/mm] V$, so gilt: [mm]$\psi_\alpha(v_1+v_2)[/mm] =
> [mm]\alpha(v1+v_2) -\alpha(0)[/mm] = [mm]\alpha(1v_1+1v_2-1\cdot[/mm] 0)
[mm] -\alpha(0)
[/mm]
> = [mm](1\alpha(v_1)+1\alpha(v_2)-1\cdot\alpha(0))[/mm] - [mm]\alpha(0)[/mm] =
> [mm](\alpha(v_1)- \alpha(0))+ (\alpha(v_2)- \alpha(0)[/mm] ) =
> [mm]\psi(v_1)+ \psi(v_2).[/mm]
>
> Seien nun [mm]\lambda\in \mathbb{K}, v\in V.[/mm] Dann betrachte
> [mm]\psi(\lambda v) = \alpha(\lambda v)-\alpha(0) = \alpha(\lambda v+ (1-\lambda)\cdot 0) - \alpha(0) = \lambda\alpha(v) + (1-\lambda)\alpha(0) - \alpha(0) = \lambda(\alpha(v) - \alpha(0)) + \alpha(0) - \alpha(0) = \lambda\psi(v) .[/mm]
> Damit ist [mm]\psi[/mm] linear.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
> Jetzt bleibt noch [mm]\psi_{\alpha_2 \circ \alpha_1} = \psi_{\alpha_2} \psi_{\alpha_1}[/mm]
> und [mm]w_{\alpha_2\circ \alpha_1} = \psi_{\alpha_2}(w_{\alpha_1}) + w_{\alpha_2} .[/mm]
> zu zeigen.
>
> Wenn ich in die Definition dieser Symbole einsetze, dann
> sieht man, was zu zeigen ist:
> [mm]\alpha(\alpha_1(v) - \alpha_2(\alpha_1(0)) = (\alpha_2(v) - \alpha_2(0))(\alpha_1(v)-\alpha_1(0)).[/mm]
> Aber das verstehe ich nicht. Wie soll ich denn bitte eine
> Hintereinanderausführung von Abbildungen mit der
> gewöhnlichen Multiplikation in Verbindung bringen??
Es gibt in Vektorräumen überhaupt keine Multiplikation. Mit [mm] $\psi_{\alpha_2} \psi_{\alpha_1} [/mm] $ ist anscheinend [mm] $\psi_{\alpha_2}\circ \psi_{\alpha_1} [/mm] $ gemeint.
Viele Grüße
Tobias
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